Deux droites passent par chaque point d'une selle

Ce que l'on démontre. Que les sections horizontales de $\Sigma$ sont les hyperboles $xy=k$ et ses sections verticales des droites, que $\Sigma$ est doublement réglée, et que le plan tangent en $M_0$, d'équation $y_{0}x+x_{0}y-z-x_0{y}_0=0$, est exactement le plan engendré par les deux génératrices.

1. Les sections planes. Coupons par le plan $z=k$ : on obtient la courbe d'équation $xy=k$ dans ce plan. Pour $k\ne 0$, le cours l'identifie : c'est une hyperbole dont les asymptotes sont les axes du repère. Pour $k=0$, l'équation $xy=0$ donne la réunion des deux axes : la ligne de niveau dégénère en deux droites sécantes. Quand $k$ passe du positif au négatif, l'hyperbole bascule d'une paire de quadrants à l'autre.

Coupons maintenant par le plan $x=k$ : on obtient $z=ky$, l'équation d'une droite de ce plan (de pente $k$, passant par l'origine du plan). De même, la section par $y=k$ est la droite $z=kx$.

Le portrait est donc celui d'une selle : la surface monte le long de la direction $y=x$ (où $z=x^2\ge 0$) et descend le long de $y=-x$ (où $z=-x^2\le 0$), tout en étant remplie de droites. L'origine est un point critique de $(x,y)\mapsto xy$ : le plan tangent y est horizontal, et la surface passe des deux côtés — c'est un col.

2. Deux droites par chaque point. Considérons, pour $a\in \mathbb{R}$ et $b\in \mathbb{R}$, les deux familles de droites $${\mathcal{D}}_a:t⟼(a,t,at),{\mathcal{D}}_b^{\prime }:t⟼(t,b,bt).$$ Ce sont bien des droites : ${\mathcal{D}}_a$ passe par $(a,0,0)$ et est dirigée par $(0,1,a)$ ; ${\mathcal{D}}_b^{\prime }$ passe par $(0,b,0)$ et est dirigée par $(1,0,b)$. Et elles sont tracées sur $\Sigma$ : dans le premier cas $xy=at=z$, dans le second $xy=tb=z$.

Soit $M_0(x_0,y_0,x_0{y}_0)\in \Sigma$. La droite ${\mathcal{D}}_{x_0}$ passe par $M_0$ (prendre $t=y_0$), et la droite ${\mathcal{D}}_{y_0}^{\prime }$ aussi (prendre $t=x_0$). De plus $M_0\in {\mathcal{D}}_a$ impose $a=x_0$, et $M_0\in {\mathcal{D}}_b^{\prime }$ impose $b=y_0$ : chaque famille fournit donc exactement une droite par ce point. Enfin les vecteurs directeurs $(0,1,x_0)$ et $(1,0,y_0)$ ne sont jamais colinéaires (le premier a une abscisse nulle, le second non). Il passe donc par $M_0$ deux droites distinctes contenues dans $\Sigma$ : la surface est doublement réglée.

3. Le plan tangent. Posons $F(x,y,z)=xy-z$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^3$. Alors $$\overrightarrow{\nabla }F(x,y,z)=(y,x,-1),$$ dont la troisième coordonnée vaut $-1$ : le gradient n'est jamais nul, donc tous les points de $\Sigma$ sont réguliers. Le plan tangent en $M_0$ est $$y_0(x-x_0)+x_0(y-y_0)-(z-x_0{y}_0)=0⟺\boxed{y_{0}x+x_{0}y-z-x_0{y}_0=0}.$$ Vérifions qu'il contient les deux génératrices. Il contient $M_0$ par construction, et $$⟨(y_0,x_0,-1),(0,1,x_0)⟩=x_0-x_0=0,⟨(y_0,x_0,-1),(1,0,y_0)⟩=y_0-y_0=0.$$ Les deux directions sont orthogonales à la normale : les deux droites sont donc entièrement contenues dans le plan tangent.

Conclusion. Le plan tangent à $\Sigma$ en $M_0$ n'est pas seulement un plan qui « frôle » la surface : il la coupe suivant deux droites qui s'y trouvent tout entières. C'est le cas général du résultat du cours — sur une surface réglée, la génératrice, étant une courbe tracée sur la surface, a sa tangente (elle-même) dans le plan tangent — appliqué deux fois. Et cela donne un troisième calcul du plan tangent, sans aucune dérivation : c'est le plan affine passant par $M_0$ et dirigé par $(0,1,x_0)$ et $(1,0,y_0)$.