Deux familles de courbes qui se coupent à angle droit

Ce que l'on démontre. Que les deux familles forment un « quadrillage orthogonal » : $⟨\overrightarrow{\nabla }g,\overrightarrow{\nabla }h⟩=0$ partout, où $g(x,y)=xy$ et $h(x,y)=x^2-y^2$.

Stratégie. Deux tangentes sont perpendiculaires si et seulement si les deux normales le sont. Or les normales, ce sont les gradients : il suffit donc d'un produit scalaire, sans jamais écrire une seule équation de droite.

1. Régularité. Les deux fonctions sont polynomiales, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$. On a $$\overrightarrow{\nabla }g(x,y)=(y,x),\overrightarrow{\nabla }h(x,y)=(2x,-2y).$$ Chacun de ces deux vecteurs est nul si et seulement si $x=y=0$. Donc tout point autre que l'origine est régulier pour $g$ comme pour $h$. (L'origine n'est de toute façon sur aucune ${\mathcal{H}}_k$, puisque $k\ne 0$.)

2. L'orthogonalité. En un point $M(x,y)\ne (0,0)$, $$⟨\overrightarrow{\nabla }g(M),\overrightarrow{\nabla }h(M)⟩=y\times 2x+x\times (-2y)=2xy-2xy=0.$$ Les deux gradients sont donc orthogonaux en tout point. Comme chacun est normal à la tangente de sa courbe, les deux tangentes sont perpendiculaires : les deux familles se coupent à angle droit.

Au point $M(2,3)$ : il est sur ${\mathcal{H}}_6$ (car $2\times 3=6$) et sur ${\mathcal{K}}_{-5}$ (car $4-9=-5$). Les gradients y valent $\overrightarrow{\nabla }g(M)=(3,2)$ et $\overrightarrow{\nabla }h(M)=(4,-6)$, de produit scalaire $12-12=0$. Les tangentes sont respectivement $3(x-2)+2(y-3)=0$, soit $3x+2y=12$, et $4(x-2)-6(y-3)=0$, soit $2x-3y=-5$. Leurs vecteurs directeurs $(2,-3)$ et $(3,2)$ sont bien orthogonaux.

3. L'hyperbole $xy=6$. Le cours énonce que l'équation $xy=k$ définit une hyperbole dont les asymptotes sont les axes du repère, ici $(Ox)$ et $(Oy)$. On le voit sur la forme réduite : en posant $X=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$ et $Y=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ (changement de repère orthonormé, une rotation d'angle $-\frac{\pi }{4}$), on a $X^2-Y^2=\frac{(x+y{)}^2-(x-y{)}^2}{2}=2xy$, donc $$xy=6⟺X^2-Y^2=12⟺\frac{X^2}{12}-\frac{Y^2}{12}=1.$$ C'est bien une hyperbole, d'axes $a=b=2\sqrt{3}$ — une hyperbole équilatère. Ses asymptotes $Y=\pm X$ se réécrivent $x-y=\pm (x+y)$, c'est-à-dire $y=0$ et $x=0$.

Le cours paramètre les hyperboles branche par branche : $X=\epsilon 2\sqrt{3}\cosh t$, $Y=2\sqrt{3}\sinh t$ avec $\epsilon =\pm 1$. En revenant à $(x,y)$ par $x=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ et $y=\frac{X-Y}{\sqrt{2}}$, et en utilisant $\cosh t+\sinh t={\mathrm{e}}^t$ et $\cosh t-\sinh t={\mathrm{e}}^{-t}$ : $$\text{branche }x>0:\left(\sqrt{6}{\mathrm{e}}^t,\sqrt{6}{\mathrm{e}}^{-t}\right),\text{branche }x<0:\left(-\sqrt{6}{\mathrm{e}}^t,-\sqrt{6}{\mathrm{e}}^{-t}\right),t\in \mathbb{R}.$$ Dans les deux cas le produit des coordonnées vaut $6$, et chaque branche est décrite séparément — c'est précisément l'avertissement du cours.