Éléments d'une ellipse en équation réduite

Courbes et Surfaces · B. Coniques : foyer, directrice, excentricité · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Pour l'ellipse $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ , donner le centre, les axes de symétrie, les longueurs des deux axes, l'excentricité, les foyers et les directrices ( $a = 5$ , $b = 4$ , $c = a^{2} - b^{2} = 3$ , $e = \frac{3}{5}$ ; foyers $(\pm 3, 0)$ , directrices $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{25}{3}$ ; grand axe $10$ , petit axe $8$ ).

Corrigé

L'équation est sous forme réduite $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ avec $a = 5$ et $b = 4$ , donc $a > b$ : le grand axe est porté par $(O x)$ .

Centre : $O$ . Axes de symétrie : $(O x)$ et $(O y)$ (l'équation est invariante par $x \mapsto - x$ et par $y \mapsto - y$ ).
Longueurs des axes : grand axe $2 a = 10$ , petit axe $2 b = 8$ ; sommets $(\pm 5, 0)$ et $(0, \pm 4)$ .
Demi-distance focale : $c = a^{2} - b^{2} = 25 - 16 = 3$ .
Excentricité : $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$ (bien dans $] 0, 1 [$ ).
Foyers : $F (3, 0)$ et $F^{'} (- 3, 0)$ .
Directrices : les droites $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a ^{2}}{c} = \pm \frac{25}{3}$ , la directrice $x = \frac{25}{3}$ étant associée au foyer $F (3, 0)$ .

Contrôle sur le sommet $(5, 0)$ : sa distance au foyer $F$ vaut $2$ , sa distance à la directrice $x = \frac{25}{3}$ vaut $\frac{10}{3}$ , et $\frac{2}{10/3} = \frac{3}{5} = e$ .

Éléments d'une ellipse en équation réduite

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