L'hélicoïde, surface réglée

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PT), chapitre 10 — Courbes et Surfaces · D. Nappes paramétrées, plan tangent, droite normale

Énoncé

On considère la nappe paramétrée $M (u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) \in R^{2}$ (l'hélicoïde droit, la surface d'un escalier en colimaçon).

Décrire les courbes coordonnées. En déduire que cette surface est réglée et préciser ses génératrices.

Calculer $T_{u} \land T_{v}$ et montrer que tous les points sont réguliers.

Déterminer le plan tangent et la droite normale au point $M (1, 0)$ , et vérifier que le plan tangent contient la génératrice passant par ce point.

Corrigé

Ce que l'on démontre. Que les courbes $v = cte$ sont des droites — d'où le caractère réglé —, que $T_{u} \land T_{v} = (sin v, - cos v, u)$ ne s'annule jamais, que le plan tangent en $(1, 0, 0)$ est $y = z$ et que la génératrice y est bien contenue.

1. Les courbes coordonnées. À $v = v_{0}$ fixé, la courbe $u ⟼ (u cos v_{0}, u sin v_{0}, v_{0})$ est la droite passant par $(0, 0, v_{0})$ et dirigée par $(cos v_{0}, sin v_{0}, 0)$ : une droite horizontale, à la cote $v_{0}$ , coupant l'axe $(O z)$ . La surface est donc réglée, et ces droites en sont les génératrices : quand $v_{0}$ croît, la génératrice tourne autour de $(O z)$ tout en s'élevant, ce qui décrit exactement une rampe hélicoïdale.

À $u = u_{0} \neq = 0$ fixé, la courbe $v \mapsto (u_{0} cos v, u_{0} sin v, v)$ est une hélice circulaire tracée sur le cylindre de rayon $∣ u_{0} ∣$ d'axe $(O z)$ .

2. Régularité. L'application est de classe $C^{1}$ , et $T_{u} = cos v sin v 0, T_{v} = - u sin v u cos v 1,$ d'où $T_{u} \land T_{v} = sin v \times 1 - 0 \times u cos v 0 \times (- u sin v) - cos v \times 1 cos v \times u cos v - sin v \times (- u sin v) = sin v - cos v u .$ Sa norme vaut $sin^{2} v + cos^{2} v + u^{2} = 1 + u^{2} \geq 1 > 0$ : le vecteur n'est jamais nul, donc tous les points de la nappe sont réguliers, y compris ceux de l'axe ( $u = 0$ ).

3. Plan tangent et droite normale en $M (1, 0)$ . On a $M (1, 0) = (1, 0, 0)$ et $n = (T_{u} \land T_{v}) (1, 0) = (0, - 1, 1) .$ Le plan tangent est donc $0 \times (x - 1) - 1 \times (y - 0) + 1 \times (z - 0) = 0 ⟺ y = z,$ et la droite normale est la droite passant par $(1, 0, 0)$ et dirigée par $n$ : ${(1, - t, t); t \in R} .$

Le contrôle par la génératrice. La génératrice passant par $(1, 0, 0)$ est celle de paramètre $v = 0$ , dirigée par $(cos 0, sin 0, 0) = (1, 0, 0)$ . Ce vecteur vérifie $⟨ n, (1, 0, 0)⟩ = 0$ , il est donc dans le plan tangent ; et le point $(1, 0, 0)$ y est aussi. La droite entière est donc contenue dans le plan tangent, comme le prévoit le cours : le plan tangent en un point régulier d'une surface réglée contient la génératrice passant par ce point.

Ce n'est pas propre à ce point : $T_{u}$ est par construction tangent à la génératrice, et il dirige le plan tangent par définition. L'énoncé général du cours n'est rien d'autre que cette remarque.

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