L'hélicoïde, surface réglée

Ce que l'on démontre. Que les courbes $v=\text{cte}$ sont des droites — d'où le caractère réglé —, que ${\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v=(\sin v,-\cos v,u)$ ne s'annule jamais, que le plan tangent en $(1,0,0)$ est $y=z$ et que la génératrice y est bien contenue.

1. Les courbes coordonnées. À $v=v_0$ fixé, la courbe $$u⟼\left(u\cos v_0,u\sin v_0,v_0\right)$$ est la droite passant par $(0,0,v_0)$ et dirigée par $(\cos v_0,\sin v_0,0)$ : une droite horizontale, à la cote $v_0$, coupant l'axe $(Oz)$. La surface est donc réglée, et ces droites en sont les génératrices : quand $v_0$ croît, la génératrice tourne autour de $(Oz)$ tout en s'élevant, ce qui décrit exactement une rampe hélicoïdale.

À $u=u_0\ne 0$ fixé, la courbe $v\mapsto (u_0\cos v,u_0\sin v,v)$ est une hélice circulaire tracée sur le cylindre de rayon $|u_0|$ d'axe $(Oz)$.

2. Régularité. L'application est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et $${\overrightarrow{T}}_u=\left(\begin{array}{c}\cos v\\ \sin v\\ 0\end{array}\right),{\overrightarrow{T}}_v=\left(\begin{array}{c}-u\sin v\\ u\cos v\\ 1\end{array}\right),$$ d'où $${\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v=\left(\begin{array}{c}\sin v\times 1-0\times u\cos v\\ 0\times (-u\sin v)-\cos v\times 1\\ \cos v\times u\cos v-\sin v\times (-u\sin v)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sin v\\ -\cos v\\ u\end{array}\right).$$ Sa norme vaut $\sqrt{{\sin }^{2}v+{\cos }^{2}v+u^2}=\sqrt{1+u^2}\ge 1>0$ : le vecteur n'est jamais nul, donc tous les points de la nappe sont réguliers, y compris ceux de l'axe ($u=0$).

3. Plan tangent et droite normale en $\overrightarrow{M}(1,0)$. On a $\overrightarrow{M}(1,0)=(1,0,0)$ et $$\overrightarrow{n}=\left({\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v\right)(1,0)=(0,-1,1).$$ Le plan tangent est donc $$0\times (x-1)-1\times (y-0)+1\times (z-0)=0⟺\boxed{y=z},$$ et la droite normale est la droite passant par $(1,0,0)$ et dirigée par $\overrightarrow{n}$ : $$\left\{(1,-t,t);t\in \mathbb{R}\right\}.$$

Le contrôle par la génératrice. La génératrice passant par $(1,0,0)$ est celle de paramètre $v=0$, dirigée par $(\cos 0,\sin 0,0)=(1,0,0)$. Ce vecteur vérifie $⟨\overrightarrow{n},(1,0,0)⟩=0$, il est donc dans le plan tangent ; et le point $(1,0,0)$ y est aussi. La droite entière est donc contenue dans le plan tangent, comme le prévoit le cours : le plan tangent en un point régulier d'une surface réglée contient la génératrice passant par ce point.

Ce n'est pas propre à ce point : ${\overrightarrow{T}}_u$ est par construction tangent à la génératrice, et il dirige le plan tangent par définition. L'énoncé général du cours n'est rien d'autre que cette remarque.