L'hyperbole xy = 4

L'hyperbole xy = 4

Courbes et Surfaces · C. Équations du second degré et réduction · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Montrer que la courbe d'équation $x y = 4$ est une hyperbole, donner ses asymptotes, ses sommets et son excentricité (le cours donne les asymptotes : les axes du repère. Réduire en posant $X = \frac{x + y}{2}$ , $Y = \frac{x - y}{2}$ , ce qui donne $\frac{X ^{2}}{8} - \frac{Y ^{2}}{8} = 1$ : hyperbole équilatère, sommets $(2, 2)$ et $(- 2, - 2)$ , excentricité $2$ ).

Corrigé

Changement de repère. Posons $X = \frac{x + y}{2}$ , $Y = \frac{x - y}{2}$ : ce sont les coordonnées dans le repère orthonormé $(O, \frac{1}{2} (1, 1), \frac{1}{2} (1, - 1))$ , obtenu en tournant les axes. Alors $x = \frac{X + Y}{2}$ , $y = \frac{X - Y}{2}$ et $x y = \frac{X ^{2} - Y ^{2}}{2} = 4 ⟺ \frac{X ^{2}}{8} - \frac{Y ^{2}}{8} = 1.$ C'est une hyperbole de forme réduite, avec $a = b = 22$ : hyperbole équilatère.

Éléments.

Asymptotes : $Y = \pm X$ , c'est-à-dire $x - y = \pm (x + y)$ , soit $y = 0$ et $x = 0$ : les axes du repère initial.
Sommets : $(X, Y) = (\pm 22, 0)$ , soit $(x, y) = (2, 2)$ et $(- 2, - 2)$ (et bien $2 \times 2 = 4$ ).
Demi-distance focale : $c = a^{2} + b^{2} = 4$ ; foyers $(X, Y) = (\pm 4, 0)$ , soit $(22, 22)$ et $(- 22, - 22)$ .
Excentricité : $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{2 2} = 2$ , comme pour toute hyperbole équilatère.

Énoncé

Corrigé

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