La parabole, et sa tangente

Ce que l'on démontre. Que $\mathcal{P}$ est la parabole $x^2=4y$, d'axe $(Oy)$, de sommet $O$ et de paramètre $p=2$, et que sa tangente en $A(2,1)$ est $x-y=1$.

1. L'équation. Pour $M(x,y)$ : $MF=\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$ et $d(M,\mathcal{D})=|y+1|$. L'égalité $MF=d(M,\mathcal{D})$ équivaut à $$x^2+(y-1{)}^2=(y+1{)}^2⟺x^2+y^2-2y+1=y^2+2y+1⟺\boxed{x^2=4y}.$$ C'est la forme réduite $y^2=2px$ du cours, aux rôles de $x$ et $y$ échangés : ici $x^2=2py$ avec $2p=4$, donc paramètre $p=2$. L'équation est invariante par $x\mapsto -x$ : l'axe de symétrie est $(Oy)$. Le sommet, intersection de la courbe et de son axe, est l'origine $O$.

2. Pas de centre. Supposons que $\Omega (\alpha ,\beta )$ soit centre de symétrie. Alors $M(x,y)\in \mathcal{P}\Rightarrow M^{\prime }(2\alpha -x,2\beta -y)\in \mathcal{P}$, c'est-à-dire $$(2\alpha -x{)}^2=4(2\beta -y)\text{pour tout }(x,y)\text{ tel que }{x}^2=4y.$$ En remplaçant $y$ par $\frac{x^2}{4}$, on obtient, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $$4{\alpha }^2-4\alpha x+x^2=8\beta -x^2,\text{soit}2x^2-4\alpha x+4{\alpha }^2-8\beta =0.$$ Un polynôme en $x$ nul pour tout $x$ a tous ses coefficients nuls : celui de $x^2$ vaut $2\ne 0$, contradiction. La parabole n'a donc aucun centre de symétrie — c'est d'ailleurs ce qui la distingue des deux autres coniques, comme le rappelle le cours.

3. La tangente en $A(2,1)$, deux fois.

Par le gradient. Posons $f(x,y)=x^2-4y$, de classe ${\mathcal{C}}^1$. On a bien $f(2,1)=4-4=0$, et $$\overrightarrow{\nabla }f(x,y)=(2x,-4),\overrightarrow{\nabla }f(A)=(4,-4)\ne \overrightarrow{0}.$$ Le point $A$ est régulier et la tangente est $$4(x-2)-4(y-1)=0⟺\boxed{x-y=1}.$$

Par la dérivée. La parabole est le graphe de $\phi :x\mapsto \frac{x^2}{4}$, de dérivée ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{x}{2}$. En $x=2$ : $\phi (2)=1$ et ${\phi }^{\prime }(2)=1$, donc la tangente est $y=1+1\times (x-2)=x-1$, soit $x-y=1$.

Les deux méthodes concordent. Elles ne sont d'ailleurs pas indépendantes : le gradient de $f(x,y)=\phi (x)-y$ vaut $({\phi }^{\prime }(x),-1)$, et l'équation ${\phi }^{\prime }(x_0)(x-x_0)-(y-y_0)=0$ est exactement l'équation de la tangente au graphe.