Le gradient, normal à la ligne de niveau

Ce que l'on démontre. Que la tangente en $A$ est $x+2y=4$, que le vecteur tangent obtenu par paramétrage est bien orthogonal au gradient, et que la plus forte croissance de $f$ se fait dans la direction de $\overrightarrow{\nabla }f(A)$, au taux $\Vert \overrightarrow{\nabla }f(A)\Vert =4\sqrt{5}$.

1. Le niveau et la tangente. On a $f(2,1)=4+4=8$, donc $A\in {\Gamma }_8$, la ligne de niveau $x^2+4y^2=8$. La fonction $f$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$, et $$\overrightarrow{\nabla }f(x,y)=(2x,8y),\overrightarrow{\nabla }f(A)=(4,8)\ne \overrightarrow{0}:$$ $A$ est un point régulier. La tangente en $A$ est la droite orthogonale au gradient passant par $A$ : $$4(x-2)+8(y-1)=0⟺\boxed{x+2y=4}.$$

2. Le contrôle par un paramétrage. L'équation $x^2+4y^2=8$ s'écrit $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ : c'est une ellipse de demi-axes $2\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$, que le cours paramètre par $$\gamma (t)=\left(2\sqrt{2}\cos t,\sqrt{2}\sin t\right),t\in [0,2\pi ].$$ On a bien $f(\gamma (t))=8{\cos }^{2}t+8{\sin }^{2}t=8$ pour tout $t$. Le point $A$ correspond à $t=\frac{\pi }{4}$, car $2\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}=2$ et $\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{4}=1$. Alors $${\gamma }^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left(-2\sqrt{2}\sin \frac{\pi }{4},\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}\right)=(-2,1),$$ et l'on vérifie $⟨\overrightarrow{\nabla }f(A),{\gamma }^{\prime }(\frac{\pi }{4})⟩=4\times (-2)+8\times 1=0$.

C'est exactement la démonstration du cours, exécutée sur un exemple : dériver l'identité $f(\gamma (t))=c$ donne $⟨\overrightarrow{\nabla }f(\gamma (t)),{\gamma }^{\prime }(t)⟩=0$. La droite passant par $A$ et dirigée par $(-2,1)$ est bien $x+2y=4$.

3. La direction de plus forte croissance. Pour un vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$, la dérivée de $t\mapsto f(A+t\overrightarrow{u})$ en $0$ vaut $⟨\overrightarrow{\nabla }f(A),\overrightarrow{u}⟩$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $$\left|⟨\overrightarrow{\nabla }f(A),\overrightarrow{u}⟩\right|\le \Vert \overrightarrow{\nabla }f(A)\Vert ,$$ avec égalité si et seulement si $\overrightarrow{u}$ est colinéaire à $\overrightarrow{\nabla }f(A)$. La croissance est donc maximale dans la direction $$\overrightarrow{u}=\frac{1}{4\sqrt{5}}(4,8)=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2),$$ et le taux de croissance y vaut $\Vert \overrightarrow{\nabla }f(A)\Vert =\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$.

Conclusion. Le gradient est normal à la ligne de niveau — c'est le point un — et il pointe vers les valeurs croissantes : en effet en avançant depuis $A$ d'un pas $\frac{2}{5}$ dans cette direction on arrive en $\left(\frac{12}{5},\frac{9}{5}\right)$, où $f$ vaut $\frac{468}{25}=18,72>8$. Les deux énoncés du cours se lisent sur la même flèche.