Plan tangent à une nappe en forme de coupe

Courbes et Surfaces · D. Nappes paramétrées, plan tangent, droite normale · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Soit la nappe $M (u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2})$ . Calculer $T_{u} \land T_{v}$ , justifier que tous les points sont réguliers et déterminer le plan tangent en $M (1, 1)$ (normale $(- 2 u, - 2 v, 1)$ , de troisième coordonnée $1$ donc jamais nulle ; en $(1, 1, 2)$ : $2 x + 2 y - z = 2$ ).

Corrigé

Les dérivées partielles de $M (u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2})$ sont $T_{u} = \frac{\partial M}{\partial u} = (1, 0, 2 u), T_{v} = \frac{\partial M}{\partial v} = (0, 1, 2 v),$ et $T_{u} \land T_{v} = (0 \cdot 2 v - 2 u \cdot 1, 2 u \cdot 0 - 1 \cdot 2 v, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (- 2 u, - 2 v, 1) .$ Régularité. La troisième coordonnée vaut $1$ , donc $T_{u} \land T_{v} \neq = 0$ pour tous $(u, v)$ : tous les points sont réguliers.

Plan tangent en $M (1, 1) = (1, 1, 2)$ . Il passe par ce point et admet pour vecteur normal $(- 2, - 2, 1)$ : $- 2 (x - 1) - 2 (y - 1) + (z - 2) = 0 ⟺ 2 x + 2 y - z = 2.$ (La nappe est le paraboloïde de révolution $z = x^{2} + y^{2}$ .)

Plan tangent à une nappe en forme de coupe

Énoncé

Corrigé

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