Plan tangent à une nappe paramétrée

Ce que l'on démontre. Que la nappe est régulière en tout point, que le plan tangent en $M(1,2)=(3,-1,2)$ a pour équation $3x+y-2z-4=0$, et que le calcul par le gradient de $F(x,y,z)=x^2-y^2-4z$ redonne exactement la même normale.

1. Les vecteurs tangents. L'application est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ (et même ${\mathcal{C}}^{\infty }$). On dérive coordonnée par coordonnée : $${\overrightarrow{T}}_u=\frac{\partial \overrightarrow{M}}{\partial u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ v\end{array}\right),{\overrightarrow{T}}_v=\frac{\partial \overrightarrow{M}}{\partial v}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ u\end{array}\right).$$ Leur produit vectoriel vaut $${\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v=\left(\begin{array}{c}1\times u-v\times (-1)\\ v\times 1-1\times u\\ 1\times (-1)-1\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u+v\\ v-u\\ -2\end{array}\right).$$ Sa troisième coordonnée vaut $-2$, donc ce vecteur n'est jamais nul : la famille $({\overrightarrow{T}}_u,{\overrightarrow{T}}_v)$ est libre en tout point, et tous les points de la nappe sont réguliers.

2. Le plan tangent en $M(1,2)$. On a $$\overrightarrow{M}(1,2)=(3,-1,2),\overrightarrow{n}=\left({\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v\right)(1,2)=(3,1,-2).$$ Le plan tangent est le plan passant par $(3,-1,2)$ et normal à $\overrightarrow{n}$ : $$3(x-3)+1(y+1)-2(z-2)=0⟺\boxed{3x+y-2z-4=0}.$$ On vérifie que le point de contact y appartient : $9-1-4-4=0$.

3. L'équation cartésienne. Avec $x=u+v$ et $y=u-v$, on obtient $$x^2-y^2=(u+v{)}^2-(u-v{)}^2=4uv=4z.$$ Tout point de la nappe vérifie donc $x^2-y^2=4z$. Réciproquement, le système $u+v=x$, $u-v=y$ se résout en $u=\frac{x+y}{2}$, $v=\frac{x-y}{2}$, et si $x^2-y^2=4z$ alors $uv=\frac{x^2-y^2}{4}=z$ : le point $(x,y,z)$ est bien atteint. La nappe décrit donc exactement la surface $\Sigma$ d'équation $x^2-y^2=4z$.

Posons $F(x,y,z)=x^2-y^2-4z$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^3$. Alors $$\overrightarrow{\nabla }F(x,y,z)=(2x,-2y,-4),\overrightarrow{\nabla }F(3,-1,2)=(6,2,-4)=2(3,1,-2).$$ C'est le même vecteur normal, à un facteur $2$ près — un vecteur normal n'est défini qu'à un scalaire non nul près. Le plan tangent est donc le même : $6(x-3)+2(y+1)-4(z-2)=0$, soit $3x+y-2z-4=0$.

Ce qu'il faut retenir. Une même surface se décrit indifféremment par un paramétrage ou par une équation cartésienne ; le plan tangent, lui, ne dépend pas du choix. La voie paramétrée demande deux dérivations et un produit vectoriel, la voie cartésienne un seul gradient : quand l'équation est disponible, elle est plus courte.