mathématiques (PT) · Chapitre 10 · Application directe du cours

Plan tangent à une sphère

Courbes et Surfaces · E. Surfaces cartésiennes, courbes tracées, intersections · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Déterminer le plan tangent à la sphère $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ au point $A (2, 1, 2)$ (gradient $(4, 2, 4)$ , plan $2 x + y + 2 z = 9$ : c'est le plan orthogonal au rayon $O A$ passant par $A$ ).

Corrigé

La sphère est la surface $F (x, y, z) = 0$ avec $F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 9$ , et $A (2, 1, 2)$ en est un point ( $4 + 1 + 4 = 9$ ). Le gradient $\nabla F = (2 x, 2 y, 2 z)$ vaut $(4, 2, 4) \neq = 0$ en $A$ : le point est régulier et le plan tangent est orthogonal à $\nabla F (A)$ : $4 (x - 2) + 2 (y - 1) + 4 (z - 2) = 0 ⟺ 2 x + y + 2 z = 9.$ Comme $\nabla F (A) = 2 O A$ , on retrouve le résultat géométrique : le plan tangent à une sphère est le plan passant par $A$ orthogonal au rayon $O A$ .

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