Reconnaître un cylindre, reconnaître un cône

Courbes et Surfaces · F. Surfaces réglées, de révolution et sections planes · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Dans $R^{3}$ , décrire les surfaces d'équations $x^{2} + z^{2} = 4$ puis $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$ , en s'appuyant sur les critères du cours (la première équation ne fait pas intervenir $y$ : cylindre de génératrices parallèles à $(O y)$ , de directrice le cercle de rayon $2$ du plan $(x O z)$ . La seconde est homogène : cône de sommet $O$ , dont les génératrices sont les droites $(O M)$ pour $M$ sur la surface).

Corrigé

Surface $x^{2} + z^{2} = 4$ . L'équation ne fait pas intervenir $y$ : si $M (x, y, z)$ est sur la surface, toute la droite $M + R j$ l'est aussi. C'est donc un cylindre de génératrices parallèles à $(O y)$ , de directrice la courbe $x^{2} + z^{2} = 4$ du plan $(x O z)$ , cercle de centre $O$ et de rayon $2$ . C'est le cylindre de révolution d'axe $(O y)$ et de rayon $2$ (la distance de $M$ à l'axe $(O y)$ vaut $x^{2} + z^{2} = 2$ ).

Surface $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 0$ . L'équation est homogène de degré $2$ : si $M (x, y, z)$ est sur la surface, $λ M$ l'est aussi pour tout réel $λ$ . C'est donc un cône de sommet $O$ , réunion des droites $(O M)$ pour $M$ sur la surface ( $M \neq = O$ ). Comme l'équation s'écrit $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ , la section par le plan $z = h$ est le cercle d'axe $(O z)$ et de rayon $∣ h ∣$ : c'est le cône de révolution d'axe $(O z)$ et de demi-angle au sommet $\frac{π}{4}$ , de génératrice par exemple la droite dirigée par $(1, 0, 1)$ .

Reconnaître un cylindre, reconnaître un cône

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Corrigé

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