Réduction complète : rotation, puis translation

Ce que l'on démontre. Que $\mathcal{C}$ est l'ellipse de centre $\Omega (1,2)$, d'équation réduite $\frac{X^2}{7}+\frac{Y^2}{3}=1$, de grand axe $2\sqrt{7}$ porté par la direction $(1,-1)$, de petit axe $2\sqrt{3}$ porté par $(1,1)$, et d'excentricité $e=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\approx 0,756$.

Stratégie. On procède dans l'ordre inverse de la lecture : d'abord la translation qui tue les termes du premier degré (le centre), ensuite la rotation qui tue le terme croisé (le théorème spectral). Chercher le centre en premier évite de traîner les termes linéaires dans le changement de base.

1. Le centre. Notons $g(x,y)$ le premier membre. Un centre de symétrie $\Omega (\alpha ,\beta )$ d'une conique du second degré est caractérisé par l'annulation des deux dérivées partielles — en $\Omega$, la partie du premier degré de $g(\Omega +\overrightarrow{h})$ doit disparaître pour que $\overrightarrow{h}\mapsto g(\Omega +\overrightarrow{h})$ soit paire. On résout $$\{\begin{array}{l}\frac{\partial g}{\partial x}=10x+4y-18=0\\ \frac{\partial g}{\partial y}=4x+10y-24=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}5x+2y=9\\ 2x+5y=12\end{array}⟺(x,y)=(1,2).$$ Donc $\Omega (1,2)$. On vérifie alors, en développant, que $$g(x,y)=5(x-1{)}^2+4(x-1)(y-2)+5(y-2{)}^2-21,$$ ce qui confirme à la fois le centre et la valeur de la constante. Posons donc $x^{\prime }=x-1$, $y^{\prime }=y-2$ : l'équation devient $$5x^{\prime 2}+4x^{\prime }{y}^{\prime }+5y^{\prime 2}=21.$$

2. La rotation. La partie du second degré s'écrit $X^{\prime \top }A{X}^{\prime }$ avec $$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 5\end{array}\right),$$ symétrique réelle. Son polynôme caractéristique est $(5-\lambda {)}^2-4$, donc $\mathrm{Sp}(A)=\{3,7\}$, avec $$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=7\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$ Les deux droites propres sont orthogonales. On pose $$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),\det P=1,P^{\top }AP=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 7\end{array}\right),$$ $P$ étant la matrice d'une rotation. Dans le repère orthonormé $\left(\Omega ;\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1),\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\right)$, de coordonnées $(X,Y)$, l'équation s'écrit $3X^2+7Y^2=21$, soit $$\boxed{\frac{X^2}{7}+\frac{Y^2}{3}=1}.$$

3. Nature et éléments. Les deux valeurs propres sont de même signe : c'est une ellipse. Ses demi-axes valent $\sqrt{7}$ et $\sqrt{3}$, et comme $\sqrt{7}>\sqrt{3}$ le grand axe est porté par la première direction propre : $$\text{grand axe : direction }(1,-1),\text{longueur }2\sqrt{7},$$ $$\text{petit axe : direction }(1,1),\text{longueur }2\sqrt{3}.$$ Avec $a=\sqrt{7}$ et $b=\sqrt{3}$ : $c=\sqrt{a^2-b^2}=2$ et $$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\approx 0,756<1,$$ ce qui confirme la nature ellipse.

Contrôle. Le sommet du grand axe est $\Omega +\sqrt{7}\times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)=\left(1+\sqrt{\frac{7}{2}},2-\sqrt{\frac{7}{2}}\right)$, et celui du petit axe est $\Omega +\sqrt{3}\times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)=\left(1+\sqrt{\frac{3}{2}},2+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$. On vérifie que ces deux points annulent bien l'équation initiale.

Ce que dit la géométrie. Les directions propres $(1,-1)$ et $(1,1)$ ne sont pas un artefact de calcul : ce sont les axes de symétrie de la courbe. L'équation initiale est d'ailleurs invariante par la symétrie qui échange $x-1$ et $y-2$, ce qui se lit sur la symétrie de la matrice $A$.