mathématiques (PT) · Chapitre 10 · Application directe du cours

Tangente à un cercle par le gradient

Courbes et Surfaces · A. Courbes implicites du plan et tangentes · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Déterminer une équation de la tangente au cercle $x^{2} + y^{2} = 25$ au point $A (3, 4)$ (gradient $(6, 8)$ , donc $6 (x - 3) + 8 (y - 4) = 0$ , soit $3 x + 4 y = 25$ : on retrouve la règle du dédoublement $x x_{A} + y y_{A} = R^{2}$ ).

Corrigé

Le cercle est la courbe $F (x, y) = 0$ avec $F (x, y) = x^{2} + y^{2} - 25$ , et $A (3, 4)$ en est un point ( $9 + 16 = 25$ ). Le gradient $\nabla F (x, y) = (2 x, 2 y)$ vaut $(6, 8) \neq = 0$ en $A$ : le point est régulier, et la tangente en $A$ est la droite passant par $A$ et orthogonale à $\nabla F (A)$ : $6 (x - 3) + 8 (y - 4) = 0 ⟺ 3 x + 4 y = 25.$ C'est la règle du dédoublement $x x_{A} + y y_{A} = R^{2}$ : la tangente au cercle est orthogonale au rayon $O A$ .

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