Tangente à une intersection — et le cas où il n'y en a pas

Ce que l'on démontre. Que le plan tangent à $\mathcal{S}$ en $A$ est $x+2y+3z=14$, que la tangente à $\Gamma$ en $A$ est dirigée par $(1,-2,1)$, et que le plan de la question trois est précisément le plan tangent : les deux gradients y sont colinéaires, $A$ n'est pas un point régulier de l'intersection, et pour cause — cette intersection est réduite au point $A$.

1. Le plan tangent à la sphère. Posons $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^3$. On a $f(1,2,3)=1+4+9-14=0$, donc $A\in \mathcal{S}$, et $$\overrightarrow{\nabla }f(x,y,z)=(2x,2y,2z),\overrightarrow{\nabla }f(A)=(2,4,6)\ne \overrightarrow{0}.$$ Le point est régulier et le plan tangent est $$2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0⟺\boxed{x+2y+3z=14}.$$ On reconnaît la règle du dédoublement : $x{x}_A+y{y}_A+z{z}_A=R^2$. Géométriquement, le gradient est radial — le plan tangent à une sphère est orthogonal au rayon.

2. La tangente à $\Gamma$. Posons $g(x,y,z)=x+y+z-6$. Alors $g(A)=0$, donc $A\in \Gamma$, et $$\overrightarrow{\nabla }f(A)=(2,4,6),\overrightarrow{\nabla }g(A)=(1,1,1).$$ Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (les rapports $\frac{2}{1},\frac{4}{1},\frac{6}{1}$ diffèrent) : $A$ est donc un point régulier de $\Gamma$. D'après le cours, la tangente en $A$ est dirigée par $$\overrightarrow{\nabla }f(A)\wedge \overrightarrow{\nabla }g(A)=\left(\begin{array}{c}4\times 1-6\times 1\\ 6\times 1-2\times 1\\ 2\times 1-4\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -2\end{array}\right)=-2\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right).$$ La tangente est donc $$\left\{(1+t,2-2t,3+t);t\in \mathbb{R}\right\}.$$ Contrôle. Le vecteur $(1,-2,1)$ est bien orthogonal à $(1,2,3)$ (soit $1-4+3=0$) et à $(1,1,1)$ (soit $1-2+1=0$) : la tangente est contenue dans les deux plans tangents, ce qui est la raison même du produit vectoriel.

3. Le cas dégénéré. Posons maintenant $h(x,y,z)=x+2y+3z-14$. On a bien $h(A)=1+4+9-14=0$, donc $A$ appartient encore à l'intersection. Mais $$\overrightarrow{\nabla }f(A)=(2,4,6)=2(1,2,3)=2\overrightarrow{\nabla }h(A):$$ les deux gradients sont colinéaires, donc $A$ n'est pas un point régulier de l'intersection, et le théorème sur la tangente ne s'applique pas.

L'interprétation est immédiate au vu de la question un : le plan $h=0$ est exactement le plan tangent à $\mathcal{S}$ en $A$. Les deux surfaces sont tangentes l'une à l'autre en $A$, leurs plans tangents y coïncident, et leur intersection n'est plus une courbe : la distance de l'origine au plan vaut $$\frac{|-14|}{\sqrt{1+4+9}}=\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}=R,$$ donc le plan est tangent à la sphère et l'intersection est réduite au point $A$.

C'est exactement ce que dit la condition de régularité du cours : elle exige que les deux surfaces se coupent transversalement. Quand elle tombe en défaut, l'intersection peut être n'importe quoi — ici un point isolé.