Tangente au folium de Descartes

Ce que l'on démontre. Que $A$ est régulier, que la tangente en $A$ a pour équation $x+y=3$, et que l'origine est le seul point où le critère de régularité tombe en défaut.

Stratégie. Tout le chapitre tient dans une seule formule : en un point régulier, $\overrightarrow{\nabla }f$ est normal à la tangente. Il n'y a donc qu'à calculer un gradient, puis à écrire l'orthogonalité.

1. Le point et sa régularité. La fonction $f$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier. On calcule $$f\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)=\frac{27}{8}+\frac{27}{8}-3\times \frac{9}{4}=\frac{27}{4}-\frac{27}{4}=0,$$ donc $A\in \Gamma$. Les dérivées partielles valent $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2-3y,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^2-3x,$$ d'où $$\overrightarrow{\nabla }f(A)=\left(3\times \frac{9}{4}-\frac{9}{2},3\times \frac{9}{4}-\frac{9}{2}\right)=\left(\frac{9}{4},\frac{9}{4}\right)\ne \overrightarrow{0}.$$ Le point $A$ est donc régulier.

2. La tangente. Le théorème du cours donne directement $$\frac{\partial f}{\partial x}(A)(x-x_A)+\frac{\partial f}{\partial y}(A)(y-y_A)=0,\text{soit}\frac{9}{4}\left(x-\frac{3}{2}\right)+\frac{9}{4}\left(y-\frac{3}{2}\right)=0.$$ En divisant par $\frac{9}{4}$ : $$\boxed{x+y=3}.$$ On retrouve au passage la symétrie de la courbe : $f(y,x)=f(x,y)$, donc $\Gamma$ est invariante par la réflexion d'axe $y=x$, et $A$ est précisément sur cet axe — la tangente y est bien perpendiculaire à l'axe de symétrie.

3. L'origine. On a $f(0,0)=0$, donc $O\in \Gamma$ ; mais $\overrightarrow{\nabla }f(0,0)=(0,0)$ : l'origine n'est pas un point régulier, et le théorème ne s'y applique pas — il n'y a aucune tangente à en déduire.

Ce n'est pas un accident de calcul. Au voisinage de $O$, les termes de degré $3$ sont négligeables devant ceux de degré $2$, et l'équation $f(x,y)=0$ se comporte comme $-3xy=0$, c'est-à-dire comme la réunion des deux axes. La courbe passe deux fois par l'origine, avec deux demi-tangentes distinctes portées par $(Ox)$ et $(Oy)$ : c'est un point double. Un point non régulier n'est donc pas un point « manquant » de la courbe, c'est un point où la courbe cesse d'être localement le graphe d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$.