Un cylindre et son plan tangent

Ce que l'on démontre. Que $\mathcal{S}$ est le cylindre de génératrices parallèles à $(Oz)$ s'appuyant sur le cercle de centre $(1,0)$ et de rayon $1$, que son plan tangent en $A(1,1,5)$ est le plan $y=1$, et que ce plan contient bien la génératrice.

1. Un cylindre. L'équation $x^2+y^2-2x=0$ ne fait pas intervenir $z$. Donc si $(x_0,y_0,z_0)\in \mathcal{S}$, alors $(x_0,y_0,z)\in \mathcal{S}$ pour tout $z\in \mathbb{R}$ : la surface contient la droite verticale passant par chacun de ses points. C'est précisément la définition d'un cylindre de génératrices parallèles à $(Oz)$, et le cours en donne la caractérisation : l'équation cartésienne est indépendante de $z$.

Sa directrice est la trace dans le plan $z=0$, d'équation $$x^2+y^2-2x=0⟺(x-1{)}^2+y^2=1:$$ c'est le cercle de centre $(1,0)$ et de rayon $1$.

2. Le plan tangent en $A$. Posons $F(x,y,z)=x^2+y^2-2x$, de classe ${\mathcal{C}}^1$. On a $F(1,1,5)=1+1-2=0$, donc $A\in \mathcal{S}$. Le gradient vaut $$\overrightarrow{\nabla }F(x,y,z)=(2x-2,2y,0),\overrightarrow{\nabla }F(A)=(0,2,0)\ne \overrightarrow{0}.$$ Le point est régulier, et le plan tangent est $$0\times (x-1)+2(y-1)+0\times (z-5)=0⟺\boxed{y=1}.$$

3. La génératrice, et la régularité. La génératrice passant par $A$ est la droite verticale $\{(1,1,z);z\in \mathbb{R}\}$. Tous ses points vérifient $y=1$ : elle est entièrement contenue dans le plan tangent. Ce n'était pas un hasard — la troisième coordonnée du gradient est nulle par construction, puisque $F$ ne dépend pas de $z$ ; le gradient est donc toujours orthogonal à $(0,0,1)$, la direction des génératrices.

Enfin, $\overrightarrow{\nabla }F(x,y,z)=\overrightarrow{0}$ exige $x=1$ et $y=0$ ; or le point $(1,0,z)$ donne $F=1+0-2=-1\ne 0$ : il n'est pas sur $\mathcal{S}$. Aucun point de la surface n'annule donc le gradient : tous les points de $\mathcal{S}$ sont réguliers. Géométriquement, les points annulant le gradient sont ceux de l'axe du cylindre, qui ne le rencontre pas.