Une conique à terme croisé

Ce que l'on démontre. Que $\mathcal{C}$ est une hyperbole d'équation réduite $X^2-\frac{Y^2}{3}=1$, d'excentricité $e=2$, d'axe focal la droite $y=x$ et d'asymptotes les droites de pentes $-2+\sqrt{3}$ et $-2-\sqrt{3}$.

Stratégie. Le travail est entièrement fait par le théorème spectral : une matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée, et la matrice de passage, choisie de déterminant $+1$, est une rotation — le changement de repère est donc licite dans un repère orthonormé.

1. La matrice et sa réduction. Avec $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, on a $x^2+4xy+y^2=X^{\top }AX$ où $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right),$$ matrice symétrique réelle. Son polynôme caractéristique est $(1-\lambda {)}^2-4=(\lambda -3)(\lambda +1)$, donc $$\mathrm{Sp}(A)=\{3,-1\}.$$ Les sous-espaces propres se lisent aussitôt : $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Ils sont orthogonaux, comme le théorème spectral l'annonce. En normant, et en ordonnant les colonnes de façon à obtenir un déterminant $+1$ : $$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),\det P=1,P^{\top }P=I_2,P^{\top }AP=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$ La matrice $P$ est celle d'une rotation d'angle $\frac{\pi }{4}$.

2. L'équation réduite. En posant $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)$, c'est-à-dire $$X=\frac{x+y}{\sqrt{2}},Y=\frac{-x+y}{\sqrt{2}},$$ l'équation devient $3X^2-Y^2=3$, soit $$\boxed{X^2-\frac{Y^2}{3}=1}.$$ Les valeurs propres sont de signes opposés : c'est une hyperbole, de demi-axes $a=1$ et $b=\sqrt{3}$. Alors $c=\sqrt{a^2+b^2}=2$ et $$e=\frac{c}{a}=2.$$ Contrôle. Le sommet $X=1$, $Y=0$ correspond à $(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$, et l'on vérifie $\frac{1}{2}+4\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=3$.

3. Axes et asymptotes. Les droites propres de $A$ sont les axes de symétrie de $\mathcal{C}$ : l'axe focal est la droite $\mathrm{Vect}\left((1,1)\right)$, d'équation $y=x$ ; l'axe non focal est $\mathrm{Vect}\left((-1,1)\right)$, d'équation $y=-x$. Le centre est l'origine.

Les asymptotes ont pour équations $Y=\pm \sqrt{3}X$ dans le nouveau repère, soit $-x+y=\pm \sqrt{3}(x+y)$. On peut aussi les obtenir directement, sans changer de repère, en annulant la partie du second degré : les directions asymptotiques sont les droites $y=mx$ avec $$1+4m+m^2=0⟺m=-2\pm \sqrt{3}.$$ Les asymptotes sont donc les deux droites $$y=\left(-2+\sqrt{3}\right)x\text{et}y=\left(-2-\sqrt{3}\right)x,$$ et l'on vérifie que leur produit de pentes vaut $(-2{)}^2-3=1$, tandis que leur somme vaut $-4$ : elles sont bien symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite $y=x$.