Une courbe tracée sur la surface z = xy

Courbes et Surfaces · E. Surfaces cartésiennes, courbes tracées, intersections · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Vérifier que la courbe $γ : t \mapsto (t, t^{2}, t^{3})$ est tracée sur la surface $z = x y$ , puis vérifier que sa tangente en $t = 1$ est contenue dans le plan tangent à la surface en $γ (1)$ ( $x y = t \times t^{2} = t^{3} = z$ ; $γ^{'} (1) = (1, 2, 3)$ , gradient de $x y - z$ en $(1, 1, 1)$ égal à $(1, 1, - 1)$ , produit scalaire $1 + 2 - 3 = 0$ ; plan tangent $x + y - z = 1$ ).

Corrigé

La courbe est tracée sur la surface. Pour tout $t$ , $x (t) y (t) = t \cdot t^{2} = t^{3} = z (t)$ : $γ (t)$ vérifie l'équation $z = x y$ .

Plan tangent en $γ (1) = (1, 1, 1)$ . La surface est $G (x, y, z) = x y - z = 0$ , avec $\nabla G = (y, x, - 1)$ , qui vaut $(1, 1, - 1) \neq = 0$ en $(1, 1, 1)$ . Le plan tangent est $(x - 1) + (y - 1) - (z - 1) = 0 ⟺ x + y - z = 1.$

La tangente est dans ce plan. $γ^{'} (t) = (1, 2 t, 3 t^{2})$ , donc $γ^{'} (1) = (1, 2, 3)$ , et $⟨ γ^{'} (1), \nabla G (1, 1, 1) ⟩ = 1 + 2 - 3 = 0.$ La tangente en $γ (1)$ , qui passe par un point du plan et est dirigée par un vecteur orthogonal à la normale, est contenue dans le plan tangent. C'est le cas général : en dérivant $G (γ (t)) = 0$ , on obtient $⟨ \nabla G (γ (t)), γ^{'} (t)⟩ = 0$ .

Une courbe tracée sur la surface z = xy

Énoncé

Corrigé

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