Une surface de révolution : le tore

Ce que l'on démontre. Que $\overrightarrow{M}(u,v)=\left((2+\cos u)\cos v,(2+\cos u)\sin v,\sin u\right)$ paramètre $\mathcal{T}$, que $\Vert {\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v\Vert =2+\cos u\ge 1>0$, que le plan tangent en $(3,0,0)$ est le plan $x=3$, et que $\mathcal{T}$ a pour équation cartésienne ${\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)}^2+z^2=1$.

1. Le paramétrage. La rotation d'angle $v$ autour de $(Oz)$ a pour matrice, dans la base canonique, $$R_v=\left(\begin{array}{ccc}\cos v& -\sin v& 0\\ \sin v& \cos v& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$$ matrice orthogonale de déterminant $+1$. En appliquant $R_v$ au point courant de la méridienne : $$\overrightarrow{M}(u,v)=R_v\left(\begin{array}{c}2+\cos u\\ 0\\ \sin u\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(2+\cos u)\cos v\\ (2+\cos u)\sin v\\ \sin u\end{array}\right),(u,v)\in {\mathbb{R}}^2.$$ Les parallèles sont les courbes $u=\text{cte}$ : ce sont les cercles horizontaux de cote $\sin u$ et de rayon $2+\cos u$, centrés sur l'axe. Les méridiennes sont les courbes $v=\text{cte}$ : ce sont les copies du cercle $\mathcal{M}$, tournées de l'angle $v$. Les deux familles de courbes coordonnées ont donc ici une interprétation géométrique immédiate.

2. Régularité et plan tangent. On dérive : $${\overrightarrow{T}}_u=\left(\begin{array}{c}-\sin u\cos v\\ -\sin u\sin v\\ \cos u\end{array}\right),{\overrightarrow{T}}_v=\left(\begin{array}{c}-(2+\cos u)\sin v\\ (2+\cos u)\cos v\\ 0\end{array}\right).$$ Un calcul direct donne $${\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v=-(2+\cos u)\left(\begin{array}{c}\cos u\cos v\\ \cos u\sin v\\ \sin u\end{array}\right),$$ vecteur de norme $|2+\cos u|\times 1=2+\cos u$, car $\cos u\ge -1$ donc $2+\cos u\ge 1$. Cette norme ne s'annule jamais : tous les points sont réguliers.

Pour $(u,v)=(0,0)$ : $\overrightarrow{M}(0,0)=(3,0,0)$, ${\overrightarrow{T}}_u=(0,0,1)$, ${\overrightarrow{T}}_v=(0,3,0)$, et $$\overrightarrow{n}={\overrightarrow{T}}_u\wedge {\overrightarrow{T}}_v=(0,0,1)\wedge (0,3,0)=(-3,0,0).$$ Le plan tangent est donc $-3(x-3)=0$, soit $$\boxed{x=3}.$$ C'est cohérent avec l'intuition : $(3,0,0)$ est le point le plus éloigné de l'axe, et le plan tangent y est vertical, parallèle au plan $(yOz)$.

3. L'équation cartésienne. Pour un point de $\mathcal{T}$, $$x^2+y^2=(2+\cos u{)}^2\text{et}z=\sin u.$$ Comme $2+\cos u>0$, on en tire $\sqrt{x^2+y^2}=2+\cos u$, c'est-à-dire $\cos u=\sqrt{x^2+y^2}-2$. L'identité ${\cos }^{2}u+{\sin }^{2}u=1$ donne alors $$\boxed{{\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)}^2+z^2=1}\text{(pour }(x,y)\ne (0,0)\text{)}.$$ On reconnaît la forme annoncée par le cours pour une surface de révolution d'axe $(Oz)$ : une relation entre $\sqrt{x^2+y^2}$ — la distance à l'axe — et la cote $z$, et rien d'autre. En développant et en élevant une seconde fois au carré, on obtient d'ailleurs une équation polynomiale : ${\left(x^2+y^2+z^2+3\right)}^2=16(x^2+y^2)$.

Le contrôle. Posons $F(x,y,z)={\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)}^2+z^2-1$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ hors de l'axe. Alors $$\frac{\partial F}{\partial x}=2\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{\partial F}{\partial y}=2\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},$$ $$\frac{\partial F}{\partial z}=2z.$$ En $(3,0,0)$ : $\sqrt{x^2+y^2}=3$, donc $\overrightarrow{\nabla }F(3,0,0)=(2,0,0)$. C'est bien un vecteur colinéaire à $\overrightarrow{n}=(-3,0,0)$, et le plan tangent obtenu est $2(x-3)=0$, soit $x=3$. Les deux voies concordent.