Attendre le n-ième succès : la somme de géométriques par les génératrices

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PT), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Fonctions génératrices

Énoncé

Soit $S = X_{1} + \dots + X_{n}$ avec $X_{i}$ i.i.d. $G (p)$ . Montrer par génératrices que $P (S = k) = (n - 1 k - 1) p^{n} (1 - p)^{k - n}$ pour $k \geq n$ ( $G_{S} (t) = (\frac{pt}{1 - q t})^{n}$ ; développer $(1 - q t)^{- n}$ en série du binôme négatif $\sum (j n + j - 1) (q t)^{j}$ (chapitre 6) et identifier — l'attente du $n$ -ième succès, qui généralise la loi géométrique, cas $n = 1$ ).

Corrigé

Ce qu'on montre, et avec quoi. Les $X_{i}$ sont indépendantes, de même loi géométrique $G (p)$ à valeurs dans $N^{*}$ ; on note $q = 1 - p$ et $S = X_{1} + \dots + X_{n}$ . On établit $P (S = k) = (n - 1 k - 1) p^{n} q^{k - n} (k \geq n), P (S = k) = 0 (k < n),$ avec trois outils : la génératrice d'une somme de variables indépendantes est le produit des génératrices ; le développement en série entière de $u ⟼ (1 - u)^{- n}$ ; et l'unicité des coefficients d'une série entière.

1. La génératrice d'une géométrique. Pour $∣ t ∣ < \frac{1}{q}$ , la série géométrique de raison $q t$ converge et $G_{X} (t) = k \geq 1 \sum p q^{k - 1} t^{k} = p t j \geq 0 \sum (q t)^{j} = \frac{p t}{1 - q t} .$

2. Celle de la somme. Les $X_{i}$ étant indépendantes, $G_{S} = \prod_{i = 1}^{n} G_{X_{i}}$ , donc pour $∣ t ∣ < \frac{1}{q}$ : $G_{S} (t) = (\frac{p t}{1 - q t})^{n} = p^{n} t^{n} (1 - q t)^{- n} .$

3. Le binôme négatif. Pour $∣ u ∣ < 1$ , $(1 - u)^{- n} = \sum_{j \geq 0} (j n + j - 1) u^{j}$ . En prenant $u = q t$ , licite car $∣ q t ∣ < 1$ : $G_{S} (t) = j \geq 0 \sum (j n + j - 1) p^{n} q^{j} t^{n + j} .$

4. Identification. Posons $k = n + j$ : $j = k - n$ et $k$ parcourt les entiers $\geq n$ . Le coefficient binomial se réécrit $(j n + j - 1) = (k - n k - 1) = (n - 1 k - 1)$ par symétrie, d'où $G_{S} (t) = k \geq n \sum (n - 1 k - 1) p^{n} q^{k - n} t^{k} .$ Or par définition $G_{S} (t) = \sum_{k \geq 0} P (S = k) t^{k}$ . Deux séries entières qui coïncident sur un voisinage de $0$ ont les mêmes coefficients : on lit le résultat terme à terme, et l'absence de termes de degré $< n$ redonne $P (S = k) = 0$ pour $k < n$ — ce qui était clair d'avance, chaque $X_{i}$ valant au moins $1$ .

Contrôle. Pour $n = 1$ la formule donne $(0 k - 1) p q^{k - 1} = p q^{k - 1}$ : on retrouve la loi géométrique. Et le résultat se relit sans génératrice : « le $n$ -ième succès a lieu au rang $k$ » signifie un succès au rang $k$ et exactement $n - 1$ succès placés parmi les $k - 1$ rangs précédents, soit $(n - 1 k - 1)$ placements, chacun de probabilité $p^{n} q^{k - n}$ .

Le point à retenir. La génératrice change une somme de variables indépendantes en produit, et une convolution pénible en développement en série entière. Elle produit ici la loi de l'attente du $n$ -ième succès, qui généralise la loi géométrique : celle-ci en est le cas $n = 1$ .

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