Calculer les fonctions génératrices des lois B(p), B(n, p), G(p)…

On note $G_X(t)=E(t^X)={\sum }_{k}P(X=k)t^k$ et $q=1-p$.

• Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : $G_X(t)=q+pt$.
• Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ : par la formule du binôme, $G_X(t)={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(pt{)}^k{q}^{n-k}=(q+pt{)}^n$.
• Géométrique $\mathcal{G}(p)$ : $G_X(t)={\sum }_{k\ge 1}{q}^{k-1}p{t}^k=pt{\sum }_{k\ge 1}(qt{)}^{k-1}=\frac{pt}{1-qt}$, pour $|t|<\frac{1}{q}$ (tout $t$ si $q=0$).
• Poisson $\mathcal{P}(\lambda )$ : $G_X(t)={\sum }_{k\ge 0}{e}^{-\lambda }\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}=e^{\lambda (t-1)}$, pour tout réel $t$.

Moments de la binomiale. $G$ est polynomiale, donc on peut dériver en $1$ : $$G^{\prime }(t)=np(q+pt{)}^{n-1},G^{\prime \prime }(t)=n(n-1)p^2(q+pt{)}^{n-2}.$$ Avec $q+p=1$ : $E(X)=G^{\prime }(1)=np$ et $G^{\prime \prime }(1)=E(X(X-1))=n(n-1)p^2$. Donc $$V(X)=G^{\prime \prime }(1)+G^{\prime }(1)-G^{\prime }(1{)}^2=n(n-1)p^2+np-n^2{p}^2=np-n{p}^2=npq.$$