Espérance infinie : la génératrice reste continue mais cesse d'être dérivable

Ce qu'on montre. $X$ est à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ avec $P(X=k)=\frac{6}{{\pi }^2{k}^2}$. On établit que sa génératrice $G_X$ est définie et continue sur $[0,1]$, qu'elle n'est pas dérivable en $1$, et l'on en tire que $X$ n'admet pas d'espérance. Tout se fait à la main, avec la seule décomposition $1-t^k=(1-t)(1+t+\cdots +t^{k-1})$.

1. C'est bien une loi. Les $p_k=\frac{6}{{\pi }^2{k}^2}$ sont strictement positifs et ${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$, donc ${\sum }_{k\ge 1}{p}_k=1$.

2. $G_X$ est définie sur $[0,1]$, continue sur $[0,1[$. Pour $t\in [0,1]$ on a $0\le p_k{t}^k\le p_k$, donc la série $\sum p_k{t}^k$ converge : $G_X(t)$ existe, et $G_X(1)=1$. Le rapport $\frac{p_{k+1}}{p_k}=(\frac{k}{k+1}{)}^2\to 1$ donne un rayon de convergence égal à $1$, et la somme d'une série entière est continue sur l'intervalle ouvert de convergence.

3. Continuité en $1$. Pour $t\in [0,1]$ et tout $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, en majorant $1-t^k$ par $1$ au-delà du rang $N$ : $$0\le G_X(1)-G_X(t)=\sum _{k\ge 1}{p}_k(1-t^k)\le \sum _{k=1}^N{p}_k(1-t^k)+\sum _{k>N}{p}_k.$$ Soit $\epsilon >0$. Le reste ${\sum }_{k>N}{p}_k$ tend vers $0$ : fixons $N$ tel qu'il soit $\le \frac{\epsilon }{2}$. La première somme est finie, et chacun de ses termes tend vers $0$ quand $t\to 1^{-}$ : il existe $\eta >0$ tel qu'elle soit $\le \frac{\epsilon }{2}$ dès que $1-\eta <t\le 1$. Donc $G_X(t)\to G_X(1)$, et $G_X$ est continue sur $[0,1]$.

4. Pas de dérivée en $1$. Pour $0\le t<1$, en divisant par $1-t$ la série de l'étape 3 : $$\tau (t)=\frac{G_X(1)-G_X(t)}{1-t}=\sum _{k\ge 1}{p}_k(1+t+\cdots +t^{k-1})\ge \sum _{k=1}^N{p}_k(1+t+\cdots +t^{k-1})$$ pour tout $N$, tous les termes étant positifs. Ce dernier membre est une somme finie : il tend, quand $t\to 1^{-}$, vers ${\sum }_{k=1}^{N}k{p}_k=\frac{6}{{\pi }^2}{\sum }_{k=1}^N\frac{1}{k}$. La série harmonique divergeant, ce nombre dépasse n'importe quel $M$ pourvu que $N$ soit assez grand. Donc, pour tout $M$, $\tau (t)\ge M$ au voisinage de $1^{-}$ : le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ et $G_X$ n'est pas dérivable en $1$.

5. Conclusion. ${\sum }_{k\ge 1}k{p}_k=\frac{6}{{\pi }^2}{\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k}$ diverge : $X$ n'admet pas d'espérance. Le théorème « $X$ admet une espérance si et seulement si $G_X$ est dérivable en $1$, et alors $E(X)=G_X^{\prime }(1)$ » est ici pris en défaut des deux côtés à la fois — ce qui, loin de le contredire, le confirme et montre qu'il est optimal.

Le point à retenir. La continuité de $G_X$ en $1$ est toujours acquise : elle ne dit rien de plus que $\sum p_k=1$. C'est la dérivabilité en $1$ qui porte l'information, et elle équivaut à l'existence de l'espérance. Une génératrice peut donc être parfaitement continue sur $[0,1]$ tout en arrivant en $1$ avec une tangente verticale.