L'absence de mémoire caractérise la géométrique

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PT), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Caractérisation, approximation et stabilité des lois usuelles

Énoncé

Soit $X \sim G (p)$ . Montrer que pour tous $m, n \in N$ : $P (X > n + m ∣ X > n) = P (X > m)$ . Réciproquement, montrer qu'une variable $X$ à valeurs dans $N^{*}$ vérifiant cette propriété (et $0 < P (X > 1) < 1$ ) suit une loi géométrique.

Corrigé

Sens direct : avec $q = 1 - p$ , $(X > n + m) \subset (X > n)$ donc $P (X > n + m ∣ X > n) = \frac{P ( X > n + m )}{P ( X > n )} = \frac{q ^{n + m}}{q ^{n}} = q^{m} = P (X > m) .$ La pièce ne se souvient pas d'avoir échoué $n$ fois : le temps d'attente restant a la même loi que le temps d'attente initial. Réciproque : posons $u_{n} = P (X > n)$ . L'hypothèse s'écrit $u_{n + m} = u_{n} u_{m}$ ; avec $u_{0} = 1$ et par récurrence, $u_{n} = u_{1}^{n} = q^{n}$ où $q = P (X > 1) \in] 0, 1 [$ . Alors $P (X = k) = u_{k - 1} - u_{k} = q^{k - 1} (1 - q)$ : c'est $G (1 - q)$ . (L'absence de mémoire est une équation fonctionnelle sur les queues, résolue comme au chapitre 1 de première année.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.