La loi de Poisson de bout en bout

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PT), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Lois usuelles sur les entiers : construction et calculs

Énoncé

Soit $X \sim P (λ)$ . Vérifier que c'est une loi, calculer $E (X)$ , et calculer $P (X \geq 1)$ .

Corrigé

$\sum_{k} e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = e^{- λ} e^{λ} = 1$ (série exponentielle, chapitre 6). Espérance par décalage d'indice : $E (X) = k \geq 1 \sum k e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} = λ e^{- λ} k \geq 1 \sum \frac{λ ^{k - 1}}{( k - 1 )!} = λ .$ Enfin $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - e^{- λ}$ . (Les trois gestes de base sur Poisson : normalisation, décalage d'indice, complémentaire.)

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