La loi géométrique de bout en bout

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (PT), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Lois usuelles sur les entiers : construction et calculs

Énoncé

Soit $X \sim G (p)$ . Retrouver $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ , puis calculer $E (X)$ par la formule des queues.

Corrigé

$P (X > n) = \sum_{k > n} (1 - p)^{k - 1} p = (1 - p)^{n} p \sum_{j \geq 0} (1 - p)^{j} = (1 - p)^{n}$ (géométrique). Donc, par la formule $E (X) = \sum_{n \geq 1} P (X \geq n)$ : $E (X) = n \geq 1 \sum P (X > n - 1) = n \geq 1 \sum (1 - p)^{n - 1} = \frac{1}{p} .$ (Aucune série dérivée : la formule des queues transforme le calcul en série géométrique pure — à essayer en premier pour toute variable à valeurs dans $N$ .)

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