Retrouver E(X) et V(X) pour X ∼ G(p) par dérivation de la série…

Avec $P(X=k)=q^{k-1}p$ ($k\ge 1$, $q=1-p\in [0,1[$), on dérive terme à terme la série géométrique ${\sum }_{k\ge 0}{x}^k=\frac{1}{1-x}$ sur $]-1,1[$ (série entière de rayon $1$) : $$\sum _{k\ge 1}k{x}^{k-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2},\sum _{k\ge 2}k(k-1)x^{k-2}=\frac{2}{(1-x{)}^3}.$$

Espérance. $X$ admet une espérance car la série $\sum k{q}^{k-1}p$ converge, et $$E(X)=p\sum _{k\ge 1}k{q}^{k-1}=\frac{p}{(1-q{)}^2}=\frac{1}{p}.$$

Variance. Par le théorème de transfert, $$E(X(X-1))=\sum _{k\ge 2}k(k-1)q^{k-1}p=pq\sum _{k\ge 2}k(k-1)q^{k-2}=\frac{2pq}{p^3}=\frac{2q}{p^2}.$$ Donc $E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}$, et par la formule de Kœnig-Huygens $$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{2q+p-1}{p^2}=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}.$$