Sachant le total, la part de X est binomiale

Stratégie : un simple quotient de deux probabilités explicites. Le numérateur s'obtient par indépendance, le dénominateur par la stabilité de la loi de Poisson par somme de variables indépendantes. Toutes les exponentielles se simplifient, et le coefficient binomial apparaît en recombinant les factorielles. Il n'y a rien à deviner : le résultat sort du calcul.

0. Le conditionnement est licite. $X$ et $Y$ étant indépendantes de lois $\mathcal{P}(\lambda )$ et $\mathcal{P}(\mu )$, la stabilité de la loi de Poisson par somme de variables indépendantes donne $X+Y\sim \mathcal{P}(\lambda +\mu )$, donc

$$P(X+Y=n)=e^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu {)}^n}{n!}>0\text{pour tout }n\in \mathbb{N}.$$

1. Le support de la loi conditionnelle. $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\mathbb{N}$, donc si $k>n$ l'événement $(X=k)\cap (X+Y=n)$ est vide : la loi conditionnelle de $X$ sachant $(X+Y=n)$ est portée par $[[0,n]]$.

2. Le calcul. Pour $0\le k\le n$, on a $(X=k)\cap (X+Y=n)=(X=k)\cap (Y=n-k)$, et $X,Y$ sont indépendantes :

$$P(X=k\mid X+Y=n)=\frac{P(X=k)P(Y=n-k)}{P(X+Y=n)}=\frac{e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\mu }\frac{{\mu }^{n-k}}{(n-k)!}}{e^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu {)}^n}{n!}}.$$

Les exponentielles se simplifient ($e^{-\lambda }{e}^{-\mu }=e^{-(\lambda +\mu )}$), et $\frac{n!}{k!(n-k)!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ :

$$P(X=k\mid X+Y=n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{{\lambda }^k{\mu }^{n-k}}{(\lambda +\mu {)}^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right)}^k{\left(\frac{\mu }{\lambda +\mu }\right)}^{n-k}.$$

Conclusion : sachant $(X+Y=n)$, la variable $X$ suit la loi binomiale

$$\mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right).$$

3. Lecture. Le paramètre $p=\frac{\lambda }{\lambda +\mu }$ ne dépend pas de $n$ : sachant le total, chacun des $n$ événements provient de $X$ « à pile ou face biaisé », indépendamment des autres, avec une probabilité proportionnelle à l'intensité $\lambda$. Toutes les exponentielles ont disparu : sachant le total, l'information de Poisson s'est entièrement concentrée dans le rapport des paramètres. C'est le pendant exact de l'amincissement d'une loi de Poisson, lu dans l'autre sens.

Contrôle chiffré. Trois contrôles.

• C'est bien une loi. ${\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}={\left(p+(1-p)\right)}^n=1$ par la formule du binôme ✓.
• Cas symétrique. Si $\lambda =\mu$, on trouve $\mathcal{B}\left(n,\frac{1}{2}\right)$ — ce que la symétrie des rôles de $X$ et $Y$ imposait ✓.
• Valeurs numériques. Avec $\lambda =2$, $\mu =3$, $n=4$ (donc $p=\frac{2}{5}=0,4$), le quotient brut $\frac{P(X=k)P(Y=4-k)}{P(X+Y=4)}$, calculé sans utiliser le résultat, donne :

$k$	quotient brut	$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)(0,4{)}^k(0,6{)}^{4-k}$
$0$	$0,1296$	$0,6^4=0,1296$
$1$	$0,3456$	$4\times 0,4\times 0,216=0,3456$
$2$	$0,3456$	$6\times 0,16\times 0,36=0,3456$
$3$	$0,1536$	$4\times 0,064\times 0,6=0,1536$
$4$	$0,0256$	$0,4^4=0,0256$

Identité colonne par colonne, et somme $=1$ ✓.

Ce qui est acquis. Une loi conditionnelle discrète se calcule par la définition, comme un quotient — et le couple « amincissement / conditionnement par la somme » est la double face de la propriété la plus utile de la loi de Poisson.