Soit X ∼ G(p). Déterminer la loi de Y = min (X, 3) (transfert de la…

Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $X \sim G (p)$ . Déterminer la loi de $Y = min (X, 3)$ (transfert de la loi : $P (Y = 1) = p$ , $P (Y = 2) = q p$ , $P (Y = 3) = P (X \geq 3) = q^{2}$ , avec $q = 1 - p$ ).

Corrigé

Ici $X (Ω) = N^{*}$ et $P (X = k) = q^{k - 1} p$ pour $k \geq 1$ , avec $q = 1 - p$ . La variable $Y = min (X, 3)$ prend ses valeurs dans ${1, 2, 3}$ .

$P (Y = 1) = P (X = 1) = p$ .
$P (Y = 2) = P (X = 2) = q p$ .
$(Y = 3) = (X \geq 3)$ , donc $P (Y = 3) = \sum_{k \geq 3} q^{k - 1} p = p \frac{q ^{2}}{1 - q} = q^{2}$ . On peut aussi dire : $X \geq 3$ signifie que les deux premières épreuves sont des échecs.

Contrôle : $p + q p + q^{2} = p (1 + q) + q^{2} = (1 - q) (1 + q) + q^{2} = 1$ . On en déduit par exemple $E (Y) = p + 2 q p + 3 q^{2} = 1 + q + q^{2}$ .

Soit X ∼ G(p). Déterminer la loi de Y = min (X, 3) (transfert de la…

Énoncé

Corrigé

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