Somme de lois de Poisson et Loi Conditionnelle

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PT), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Z. Problèmes de concours corrigés

Énoncé

Soient $X_{1} \sim P (λ_{1})$ et $X_{2} \sim P (λ_{2})$ deux variables de Poisson indépendantes. Montrer que $S = X_{1} + X_{2} \sim P (λ_{1} + λ_{2})$ et que $(X_{1} ∣ S = n) \sim B (n, \frac{λ _{1}}{λ _{1} + λ _{2}})$ .

Corrigé

Par produit des fonctions génératrices : $G_{S} (t) = G_{X_{1}} (t) G_{X_{2}} (t) = e^{λ_{1} (t - 1)} e^{λ_{2} (t - 1)} = e^{(λ_{1} + λ_{2}) (t - 1)} ⟹ S \sim P (λ_{1} + λ_{2}) .$
Loi conditionnelle de $X_{1}$ sachant $(S = n)$ : $P (X_{1} = k ∣ S = n) = \frac{P ( X _{1} = k ) P ( X _{2} = n - k )}{P ( S = n )} = \frac{e ^{- λ_{1}} \frac{λ _{1}^{k}}{k !} e ^{- λ_{2}} \frac{λ _{2}^{n - k}}{( n - k )!}}{e ^{- (λ_{1} + λ_{2})} \frac{( λ _{1} + λ _{2} ) ^{n}}{n !}}$ $= (k n) \frac{λ _{1}^{k} λ _{2}^{n - k}}{( λ _{1} + λ _{2} ) ^{n}} = (k n) (\frac{λ _{1}}{λ _{1} + λ _{2}})^{k} (\frac{λ _{2}}{λ _{1} + λ _{2}})^{n - k} .$ On reconnaît exactement la loi binomiale $B (n, \frac{λ _{1}}{λ _{1} + λ _{2}})$ .

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