Stabilité de la loi de Poisson

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PT), chapitre 11 — Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes · Caractérisation, approximation et stabilité des lois usuelles

Énoncé

Soient $X \sim P (λ)$ et $Y \sim P (μ)$ indépendantes. Montrer de deux façons que $X + Y \sim P (λ + μ)$ .

Corrigé

Par convolution (probabilités totales sur $(X = j)$ ) : $P (X + Y = n) = j = 0 \sum n P (X = j) P (Y = n - j) = e^{- λ - μ} j = 0 \sum n \frac{λ ^{j}}{j !} \frac{μ ^{n - j}}{( n - j )!} = e^{- (λ + μ)} \frac{( λ + μ ) ^{n}}{n !}$ (binôme de Newton). Par génératrices : $G_{X + Y} (t) = G_{X} (t) G_{Y} (t) = e^{λ (t - 1)} e^{μ (t - 1)} = e^{(λ + μ) (t - 1)}$ , qui est la génératrice de $P (λ + μ)$ ; la loi étant déterminée par la génératrice, c'est fini. (Deux lignes contre cinq : la génératrice est l'outil roi des sommes indépendantes.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.