Commutant d'une matrice à spectre simple

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PT), chapitre 2 — Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Soit $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ à coefficients diagonaux deux à deux distincts. Montrer que les matrices commutant avec $D$ sont exactement les matrices diagonales.

Corrigé

Si $M$ commute avec $D$ , chaque sous-espace propre de $D$ est stable par $M$ (théorème de commutation). Or les sous-espaces propres de $D$ sont les droites $K e_{i}$ (valeurs propres simples) : $M e_{i} \in K e_{i}$ pour tout $i$ , c'est-à-dire $M$ diagonale. Réciproquement, deux diagonales commutent. (Coefficient par coefficient : $(M D - D M)_{i, j} = m_{i, j} (λ_{j} - λ_{i})$ , nul $⟺ m_{i, j} = 0$ pour $i \neq = j$ — les deux voies concordent.)

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