Dans ℝ³, les trois droites engendrées par (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)…

Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées · niveau 1 (application)

Énoncé

Dans $R^{3}$ , les trois droites engendrées par $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ et $(1, 1, 0)$ sont deux à deux d'intersection nulle ; leur somme est-elle directe ?

Corrigé

Non. Notons $D_{1} = Vect (1, 0, 0)$ , $D_{2} = Vect (0, 1, 0)$ et $D_{3} = Vect (1, 1, 0)$ . Les intersections deux à deux sont bien nulles (trois vecteurs deux à deux non colinéaires), mais $(1, 0, 0) + (0, 1, 0) + (- (1, 1, 0)) = 0$ est une décomposition de $0$ dans $D_{1} + D_{2} + D_{3}$ dont les termes ne sont pas tous nuls : la somme n'est pas directe.

On le voit aussi par les dimensions : les trois droites sont dans le plan $z = 0$ , donc $dim (D_{1} + D_{2} + D_{3}) = 2 < 1 + 1 + 1$ . Pour trois sous-espaces ou plus, des intersections deux à deux nulles ne suffisent pas ; le bon critère est l'unicité de la décomposition de $0$ , ou, en dimension finie, $dim (\sum F_{i}) = \sum dim F_{i}$ .

Dans ℝ³, les trois droites engendrées par (1,0,0), (0,1,0) et (1,1,0)…

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