Décomposition D + N et puissances

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PT), chapitre 2 — Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Soit $A = (2012)$ . Donner ses sous-espaces propre et caractéristique, écrire $A = D + N$ avec $D$ diagonale, $N$ nilpotente, $D N = N D$ , et en déduire $A^{n}$ .

Corrigé

$χ_{A} = (X - 2)^{2}$ , $E_{2} = Vect (e_{1})$ (dimension $1$ : non diagonalisable). Le sous-espace caractéristique est $N_{2} = Ker (A - 2 I)^{2} = Ker (0) = R^{2}$ tout entier — la décomposition en sous-espaces caractéristiques est ici triviale, et la structure annoncée par le théorème est visible : $A = D 2 I_{2} + N (0010), N^{2} = 0, D N = N D .$ Le binôme (licite : $D$ et $N$ commutent — première année) ne garde que deux termes : $A^{n} = (2 I + N)^{n} = 2^{n} I + n 2^{n - 1} N = (2^{n} 0 n 2^{n - 1} 2^{n}) .$ (Contrôle $n = 1$ ✓. La méthode « $λ I + N$ » de première année trouve ici sa justification générale : tout endomorphisme à $χ$ scindé se décompose ainsi bloc par bloc — c'est le théorème des sous-espaces caractéristiques.)

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