Déterminer les éléments propres de …, …, … (sur … puis sur …)

On calcule ${\chi }_M=\det (X{I}_2-M)$ puis les noyaux $\ker (M-\lambda I_2)$.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_A=(X-1{)}^2-4=(X-3)(X+1)$. Sur $\mathbb{R}$ comme sur $\mathbb{C}$, $\mathrm{Sp}(A)=\{3,-1\}$, avec $E_3=\mathrm{Vect}((1,1))$ et $E_{-1}=\mathrm{Vect}((1,-1))$.

$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ : ${\chi }_N=X^2$, donc $\mathrm{Sp}(N)=\{0\}$ (sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$), et $E_0=\ker N=\mathrm{Vect}((1,0))$, de dimension $1$ alors que $0$ est racine double.

$R=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ : ${\chi }_R=X^2+1$. Sur $\mathbb{R}$, aucune racine : $R$ n'a pas de valeur propre réelle (rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$, qui ne fixe aucune direction). Sur $\mathbb{C}$, $\mathrm{Sp}(R)=\{i,-i\}$. Pour $\lambda =i$ : $-ix-y=0$, d'où $E_i=\mathrm{Vect}((1,-i))$ ; par conjugaison, $E_{-i}=\mathrm{Vect}((1,i))$. Contrôle : $R(1,-i{)}^{\top }=(i,1{)}^{\top }=i(1,-i{)}^{\top }$.