Deux endomorphismes qui commutent se diagonalisent dans une même base

Stratégie. La commutation sert deux fois, et de deux manières différentes. D'abord elle fait de chaque sous-espace propre de $u$ un sous-espace stable par $v$. Ensuite — et c'est le ressort de la démonstration — elle entraîne que $v$ commute aussi avec les projecteurs associés à la décomposition de $u$, ce qui permet de projeter la décomposition propre de $v$ à l'intérieur de chaque sous-espace propre de $u$, sans rien invoquer d'autre que la linéarité.

Le cadre. $E$ est de dimension finie, $u$ et $v$ sont diagonalisables et $uv=vu$. Notons ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s$ les valeurs propres distinctes de $u$, ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_t$ celles de $v$, $E_i=\ker (u-{\lambda }_i\mathrm{id})$ et $G_j=\ker (v-{\mu }_j\mathrm{id})$. La diagonalisabilité donne $$E=E_1\oplus \cdots \oplus E_s=G_1\oplus \cdots \oplus G_t.$$ Notons $p_i$ le projecteur sur $E_i$ parallèlement à ${⨁}_{k\ne i}{E}_k$, de sorte que ${\mathrm{id}}_E=p_1+\cdots +p_s$ et $\mathrm{Im}{p}_i=E_i$.

1. Chaque $E_i$ est stable par $v$. Soit $x\in E_i$. Alors $$u(v(x))=v(u(x))=v({\lambda }_{i}x)={\lambda }_{i}v(x),$$ donc $v(x)\in E_i$. C'est le théorème de commutation : un endomorphisme qui commute avec $u$ stabilise chacun de ses sous-espaces propres.

2. $v$ commute avec chaque projecteur $p_i$. Soit $x\in E$, décomposé en $x={\sum }_k{x}_k$ avec $x_k\in E_k$. Par l'étape 1, $v(x_k)\in E_k$, si bien que $v(x)={\sum }_{k}v(x_k)$ est la décomposition de $v(x)$ dans la somme directe. Par unicité de cette décomposition, $$p_i(v(x))=v(x_i)=v(p_i(x)),\text{donc}{p}_{i}v=v{p}_i.$$

3. Chaque $E_i$ se décompose en vecteurs propres de $v$. Soit $y\in E_i$. Écrivons $y={\sum }_j{y}_j$ avec $y_j\in G_j$, ce qui est possible puisque $v$ est diagonalisable. Appliquons $p_i$, qui fixe $y$ : $$y=p_i(y)=\sum _{j=1}^t{p}_i(y_j).$$ Or chaque $p_i(y_j)$ est encore vecteur propre de $v$ pour ${\mu }_j$ (ou nul), grâce à l'étape 2 : $$v(p_i(y_j))=p_i(v(y_j))=p_i({\mu }_j{y}_j)={\mu }_j{p}_i(y_j),$$ et il appartient à $\mathrm{Im}{p}_i=E_i$. Donc $p_i(y_j)\in E_i\cap G_j$, et $$E_i=\sum _{j=1}^t(E_i\cap G_j).$$

4. Conclusion. En sommant sur $i$ et en se souvenant que $E={⨁}_i{E}_i$ : $$E=\underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}\sum _{j=1}^t(E_i\cap G_j).$$ Chacun des $E_i\cap G_j$ n'est fait que de vecteurs propres communs à $u$ (pour ${\lambda }_i$) et à $v$ (pour ${\mu }_j$). En choisissant une base de chaque $E_i\cap G_j$ et en les concaténant, on obtient une base de $E$ formée de vecteurs propres communs : $u$ et $v$ sont codiagonalisables, c'est-à-dire diagonalisées par une même matrice de passage $P$.

Le point délicat. La commutation ne se contente pas d'être commode : elle est nécessaire. Si $P^{-1}uP$ et $P^{-1}vP$ sont toutes deux diagonales, elles commutent (deux matrices diagonales commutent), donc $u$ et $v$ aussi. Sans commutation, deux endomorphismes diagonalisables ne partagent en général aucun vecteur propre : $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ sont diagonalisables, ne commutent pas, et n'ont aucune direction propre commune.

Le point à retenir. Deux endomorphismes qui commutent et qui sont chacun diagonalisable se diagonalisent simultanément. C'est l'énoncé qui permet de traiter d'un coup une famille entière d'endomorphismes commutant deux à deux, et l'outil qui la rend accessible est le projecteur : commuter avec $v$ se transmet de $u$ à ses projecteurs spectraux.