Diagonaliser si possible

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_A=(X-3)(X+1)$, deux valeurs propres distinctes en dimension $2$, donc $A$ est diagonalisable. Avec $E_3=\mathrm{Vect}((1,1))$ et $E_{-1}=\mathrm{Vect}((1,-1))$ : $$A=PD{P}^{-1},P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

$B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_B=(X-3)(X-1)+1=X^2-4X+4=(X-2{)}^2$. Si $B$ était diagonalisable, elle serait semblable à $2I_2$, donc égale à $2I_2$ ; ce n'est pas le cas. $B$ n'est pas diagonalisable : $E_2=\ker (B-2I_2)=\mathrm{Vect}((1,-1))$ n'est que de dimension $1$ (elle reste trigonalisable, ${\chi }_B$ étant scindé).

$C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ : triangulaire, de valeurs propres $1$ et $2$ distinctes, donc diagonalisable. $E_1=\mathrm{Vect}((1,0))$ et $E_2=\ker \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\mathrm{Vect}((1,1))$ : $$C=Q\Delta Q^{-1},Q=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\Delta =\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right).$$