Retrouver par le critère algébrique que projecteurs (p² = p) et…

Critère utilisé. Un endomorphisme annulé par un polynôme scindé à racines simples est diagonalisable, et toute valeur propre est racine de tout polynôme annulateur (si $u(x)=\lambda x$ avec $x\ne 0$, alors $Q(u)(x)=Q(\lambda )x$, donc $Q(u)=0$ impose $Q(\lambda )=0$).

Projecteur. $p^2=p$ signifie que $Q=X^2-X=X(X-1)$ annule $p$. Ce polynôme est scindé à racines simples $0$ et $1$ : $p$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(p)\subset \{0,1\}$. On retrouve $E=\ker p\oplus \mathrm{Im}p$, avec $\ker p=E_0$ et $\mathrm{Im}p=\ker (p-\mathrm{id})=E_1$.

Symétrie. $s^2=\mathrm{id}$ signifie que $X^2-1=(X-1)(X+1)$ annule $s$, scindé à racines simples $1$ et $-1$ : $s$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(s)\subset \{-1,1\}$, avec $E=\ker (s-\mathrm{id})\oplus \ker (s+\mathrm{id})$.

Les inclusions peuvent être strictes : $p=0$ a pour spectre $\{0\}$, $p=\mathrm{id}$ a pour spectre $\{1\}$, et $s=\mathrm{id}$ a pour spectre $\{1\}$.