Une matrice nilpotente

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PT), chapitre 2 — Réduction des Endomorphismes et des Matrices Carrées · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Soit $N = (1 - 1 1 - 1)$ . Montrer que $N$ est nilpotente, donner $χ_{N}$ , $μ_{N}$ , et montrer qu'une matrice nilpotente non nulle n'est jamais diagonalisable.

Corrigé

$N^{2} = (0000)$ : nilpotente d'indice $2$ . Donc $χ_{N} = X^{2}$ (caractérisation des nilpotents — cohérent : $tr N = 0$ , $det N = 0$ ), et $μ_{N} = X^{2}$ (car $N \neq = 0$ ).

Si une matrice nilpotente $M$ était diagonalisable, son spectre étant ${0}$ , elle serait semblable à la matrice nulle, donc nulle. Ainsi toute nilpotente non nulle est trigonalisable ( $χ = X^{n}$ scindé) mais jamais diagonalisable — la famille des contre-exemples canoniques du chapitre.

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