uv et vu ont toujours le même spectre

Stratégie. Pour une valeur propre non nulle, on transporte un vecteur propre de $uv$ en un vecteur propre de $vu$ par $v$ lui-même ; le seul point à soigner est la non-nullité de l'image, et c'est là que sert $\lambda \ne 0$. La valeur propre $0$ échappe à ce transport : on la traite séparément, par les déterminants. $E$ est supposé de dimension finie.

1. Les valeurs propres non nulles. Soit $\lambda \ne 0$ avec $\lambda \in \mathrm{Sp}(uv)$ : il existe $x\ne 0$ tel que $u(v(x))=\lambda x$. Posons $y=v(x)$.

$y$ est non nul. Si l'on avait $y=0$, alors $\lambda x=u(y)=u(0)=0$, donc $\lambda =0$ ou $x=0$ : les deux sont exclus. Donc $y\ne 0$.

$y$ est vecteur propre de $vu$ pour $\lambda$ : $$(vu)(y)=v(u(v(x)))=v(\lambda x)=\lambda v(x)=\lambda y.$$ Donc $\lambda \in \mathrm{Sp}(vu)$. En échangeant les rôles de $u$ et $v$ (l'énoncé est symétrique), on obtient l'inclusion réciproque : $uv$ et $vu$ ont exactement les mêmes valeurs propres non nulles.

2. La valeur propre $0$. En dimension finie, $0\in \mathrm{Sp}(w)⟺w$ non injectif $⟺$ $w$ non inversible $⟺\det w=0$. Or, la multiplicativité du déterminant et la commutativité du produit dans $\mathbb{K}$ donnent $$\det (uv)=\det (u)\det (v)=\det (v)\det (u)=\det (vu).$$ Donc $\det (uv)=0⟺\det (vu)=0$, c'est-à-dire $0\in \mathrm{Sp}(uv)⟺0\in \mathrm{Sp}(vu)$.

3. Conclusion. $$\mathrm{Sp}(uv)=\mathrm{Sp}(vu).$$

Point délicat : ce qui n'est pas vrai. L'égalité porte sur les spectres, pas sur les sous-espaces propres. Prenons dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$ $$U=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\text{alors}UV=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),VU=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ Les deux spectres valent bien $\{0,1\}$ $✓$, mais le sous-espace propre associé à $1$ est $\mathrm{Vect}(e_1)$ pour $UV$ et $\mathrm{Vect}(e_2)$ pour $VU$ : ils sont différents. Le transport $x\mapsto v(x)$ du point 1 est précisément ce qui envoie l'un sur l'autre.

Notons aussi que le point 2 est le seul endroit où la dimension finie intervient de façon essentielle : c'est l'équivalence « injectif $⟺$ inversible » qui y est utilisée.

Contrôle chiffré. Prenons $$U=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right),UV=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 7\end{array}\right),VU=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& 6\end{array}\right).$$ Les deux matrices ne sont pas égales, mais $$\mathrm{tr}(UV)=2+7=9=3+6=\mathrm{tr}(VU),\det (UV)=14-12=2=18-16=\det (VU),$$ donc ${\chi }_{UV}={\chi }_{VU}=X^2-9X+2$ : mêmes valeurs propres $\frac{9\pm \sqrt{73}}{2}$, toutes deux non nulles. $✓$

Ce qui est acquis. L'ordre des facteurs ne change ni le spectre, ni la trace, ni le déterminant — mais il change les vecteurs. On retrouve ici, sous une autre forme, l'invariance de la trace par permutation circulaire du chapitre précédent : les quantités « globales » ignorent l'ordre, les objets géométriques non.