Diagonaliser en base orthonormée

Les trois matrices sont symétriques réelles : par le théorème spectral, leurs sous-espaces propres sont orthogonaux, et il suffit de normer un vecteur propre par valeur propre.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ : ${\chi }_A=(X-3)(X+1)$, $E_3=\mathrm{Vect}(1,1)$, $E_{-1}=\mathrm{Vect}(1,-1)$. Avec $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{O}}_2(\mathbb{R})$ : $A=P\mathrm{diag}(3,-1)P^{\top }$.

$B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ : ${\chi }_B=X^2-1$, $E_1=\mathrm{Vect}(1,1)$, $E_{-1}=\mathrm{Vect}(1,-1)$. Avec la même $P$ : $B=P\mathrm{diag}(1,-1)P^{\top }$ ($B$ est la réflexion d'axe la première bissectrice).

$C=\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 2\end{array}\right)$ : ${\chi }_C=X^2-7X+6=(X-1)(X-6)$. $E_1=\ker \left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 1\end{array}\right)=\mathrm{Vect}(1,2)$ et $E_6=\ker \left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& -4\end{array}\right)=\mathrm{Vect}(2,-1)$, bien orthogonaux. Avec $Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{O}}_2(\mathbb{R})$ : $C=Q\mathrm{diag}(1,6)Q^{\top }$.