Distance à un hyperplan

$H$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $x\mapsto ⟨x,n⟩$ : c'est un hyperplan, donc $\dim H^{\perp }=\dim E-\dim H=1$ (théorème du supplémentaire orthogonal). Comme $n\in H^{\perp }$ et $n\ne 0$, on a $H^{\perp }=\mathrm{Vect}(n)$, dont $\left(\frac{n}{\Vert n\Vert }\right)$ est une base orthonormale. La décomposition $x=p_H(x)+p_{H^{\perp }}(x)$ donne alors $$d(x,H)=\Vert x-p_H(x)\Vert =\Vert p_{H^{\perp }}(x)\Vert =\Vert ⟨x,\frac{n}{\Vert n\Vert }⟩\frac{n}{\Vert n\Vert }\Vert =\frac{|⟨x,n⟩|}{\Vert n\Vert }.$$ C'est la formule de la « distance d'un point à un plan » du lycée, valable ici en toute dimension : on ne projette pas sur $H$, on projette sur la droite $H^{\perp }$, qui est de dimension $1$ — c'est toujours le calcul le plus court quand $F$ est un hyperplan.

Application. Ici $n=(1,1,1,1)$, $\Vert n\Vert =2$ et $⟨a,n⟩=1+2+3+4=10$, d'où $$d(a,H)=\frac{10}{2}=5.$$ Contrôle chiffré par Pythagore. La projection vaut $p_H(a)=a-\frac{10}{4}n=\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$, de norme au carré $\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=5$, et $$\Vert a{\Vert }^2=1+4+9+16=30=\underset{\Vert p_H(a){\Vert }^2}{\underbrace{5}}+\underset{d(a,H{)}^2}{\underbrace{25}}✓$$ conformément à $\Vert x{\Vert }^2=\Vert p_F(x){\Vert }^2+d(x,F{)}^2$.