Le parallélogramme décide, la polarisation reconstruit

Stratégie : la polarisation reconstruit, le parallélogramme décide. La formule de polarisation ne fabrique pas un produit scalaire à partir de n'importe quelle norme ; elle dit seulement que si $N$ est euclidienne, alors le produit scalaire ne peut être que celui-là. On s'en sert donc pour produire l'unique candidat, puis on vérifie sur ce candidat les quatre axiomes, et enfin qu'il redonne bien $N$. La dernière partie montre ce qui arrive quand on saute cette vérification.

Étape 1 — Le candidat, par polarisation.

La première identité de polarisation du cours s'écrit $⟨x,y⟩=\frac{1}{2}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2\right)$. On l'applique à $N$ sans savoir encore si $N$ est euclidienne : cela définit simplement une application $\phi :{\mathbb{R}}^2\times {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$. Avec $N(x{)}^2=x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2$ :

$$N(x+y{)}^2=(x_1+y_1{)}^2+(x_1+y_1)(x_2+y_2)+(x_2+y_2{)}^2.$$

En développant, puis en retranchant $N(x{)}^2$ et $N(y{)}^2$, tous les termes purement en $x$ ou purement en $y$ disparaissent et il ne reste que les termes croisés :

$$N(x+y{)}^2-N(x{)}^2-N(y{)}^2=2x_1{y}_1+x_1{y}_2+x_2{y}_1+2x_2{y}_2,$$

$$\boxed{\phi (x,y)=x_1{y}_1+\frac{1}{2}\left(x_1{y}_2+x_2{y}_1\right)+x_2{y}_2.}$$

Premier contrôle : la seconde identité de polarisation, $\frac{1}{4}\left(N(x+y{)}^2-N(x-y{)}^2\right)$, doit donner la même application. On développe : $N(x-y{)}^2=N(x{)}^2-2x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1-2x_2{y}_2+N(y{)}^2$, donc $N(x+y{)}^2-N(x-y{)}^2=4x_1{y}_1+2x_1{y}_2+2x_2{y}_1+4x_2{y}_2$, dont le quart est bien $\phi (x,y)$ ✓.

Étape 2 — $\phi$ est un produit scalaire (les quatre axiomes).

Le plus économique est de la lire matriciellement. En posant $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$, $Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$ :

$$\phi (x,y)=X^{\top }AY\text{avec}A=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right).$$

• Bilinéarité : $(X,Y)\mapsto X^{\top }AY$ est linéaire en $X$ à $Y$ fixé et linéaire en $Y$ à $X$ fixé — c'est la linéarité du produit matriciel.
• Symétrie : $A^{\top }=A$, donc $\phi (y,x)=Y^{\top }AX={\left(Y^{\top }AX\right)}^{\top }=X^{\top }{A}^{\top }Y=X^{\top }AY=\phi (x,y)$ (un réel est sa propre transposée).
• Positivité et caractère défini, d'un seul coup par la forme canonique du trinôme en $x_1$ :

$$\phi (x,x)=x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2={\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{x}_2^2\ge 0.$$

Une somme de deux carrés est nulle si et seulement si chacun l'est : $\frac{3}{4}{x}_2^2=0$ donne $x_2=0$, puis ${\left(x_1+0\right)}^2=0$ donne $x_1=0$. Donc $\phi (x,x)=0⟺x=0$ : $\phi$ est définie positive.

Seconde voie, celle du chapitre : $A$ est symétrique réelle, de trace $2$ et de déterminant $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, donc de valeurs propres $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{2}$ — toutes deux strictement positives. Par la caractérisation spectrale, $A\in {\mathcal{S}}_2^{++}(\mathbb{R})$, ce qui est exactement le caractère défini positif de la forme quadratique $X\mapsto X^{\top }AX$. Les deux voies concordent, comme dans l'exercice résolu sur $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$.

Étape 3 — $\phi$ redonne $N$, donc $N$ est euclidienne.

Par construction $\phi (x,x)=N(x{)}^2$ (c'est la ligne de l'étape 2), donc $N(x)=\sqrt{\phi (x,x)}$ : $N$ est la norme euclidienne associée à $\phi$.

Remarquons ce que cela nous a épargné : on n'a vérifié ni l'homogénéité ni l'inégalité triangulaire pour $N$. Elles sont acquises gratuitement, la première par bilinéarité, la seconde par l'inégalité de Minkowski, qui vaut pour toute norme issue d'un produit scalaire. Vérifier à la main que $\sqrt{(x_1+y_1{)}^2+\cdots }\le N(x)+N(y)$ aurait été pénible ; identifier le produit scalaire rend l'inégalité automatique. C'est là tout l'intérêt de la question.

Étape 4 — Pourquoi cette vérification n'est pas facultative.

L'identité du parallélogramme est vérifiée par $N$ — et le calcul est formel, sans nombres :

$$N(x+y{)}^2+N(x-y{)}^2=2\left(N(x{)}^2+N(y{)}^2\right),$$

puisque les termes croisés de $N(x+y{)}^2$ et de $N(x-y{)}^2$ sont opposés et s'annulent. Or $\Vert \cdot {\Vert }_1$ et $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ y échouent, sur le même couple $x=(1,0)$, $y=(0,1)$ :

norme	$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2$	$2\left(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2\right)$
$N$	$3+1=4$	$2(1+1)=4$ ✓
$\Vert \cdot {\Vert }_1$	$4+4=8$	$2(1+1)=4$ ✗
$\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$	$1+1=2$	$2(1+1)=4$ ✗

Le point délicat. Rien n'empêche d'écrire la formule de polarisation pour $\Vert \cdot {\Vert }_1$ : on obtient une application $\psi (x,y)=\frac{1}{4}\left(\Vert x+y{\Vert }_1^2-\Vert x-y{\Vert }_1^2\right)$, parfaitement définie, symétrique, et qui vérifie même $\psi (x,x)=\frac{1}{4}\Vert 2x{\Vert }_1^2=\Vert x{\Vert }_1^2$. Elle n'est pourtant pas bilinéaire, et un seul triplet le prouve. Prenons $x=(1,0)$, $y=(1,0)$, $z=(0,1)$ :

$$\psi (x,y)=\frac{1}{4}\left(\Vert (2,0){\Vert }_1^2-\Vert (0,0){\Vert }_1^2\right)=\frac{1}{4}(4-0)=1,$$ $$\psi (x,z)=\frac{1}{4}\left(\Vert (1,1){\Vert }_1^2-\Vert (1,-1){\Vert }_1^2\right)=\frac{1}{4}(4-4)=0,$$ $$\psi (x,y+z)=\psi ((1,0),(1,1))=\frac{1}{4}\left(\Vert (2,1){\Vert }_1^2-\Vert (0,-1){\Vert }_1^2\right)=\frac{1}{4}(9-1)=2.$$

Et $2\ne 1+0$ : l'additivité en la seconde variable tombe. Autrement dit la formule de polarisation produit toujours quelque chose, mais ce quelque chose n'est un produit scalaire que si la norme est déjà euclidienne — et c'est le parallélogramme, pas la formule, qui le décide.

Lecture géométrique. Le coefficient hors diagonale de $A$ vaut $\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$. Si $u$ et $v$ sont deux vecteurs unitaires du plan euclidien usuel faisant un angle de $60^{\circ }$, alors

$${\Vert x_{1}u+x_{2}v\Vert }^2=x_1^2+2x_1{x}_2\cos \frac{\pi }{3}+x_2^2=x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2=N(x{)}^2.$$

$N$ n'est donc rien d'autre que la longueur euclidienne ordinaire, lue dans une base oblique à $60^{\circ }$ : ses « sphères » $N(x)=r$ sont des ellipses, et la base canonique $(e_1,e_2)$ y est de norme $1$ mais pas orthogonale, puisque $\phi (e_1,e_2)=\frac{1}{2}\ne 0$.

Contrôle chiffré sur un couple qui n'a rien de particulier, $x=(2,-1)$ et $y=(1,3)$ :

$$N(x{)}^2=4-2+1=3,N(y{)}^2=1+3+9=13,N(x+y{)}^2=9+6+4=19,N(x-y{)}^2=1-4+16=13.$$

• Parallélogramme : $19+13=32$ et $2(3+13)=32$ ✓
• Polarisation : $\frac{1}{4}(19-13)=\frac{3}{2}$, à comparer à $\phi (x,y)=2\cdot 1+\frac{1}{2}(2\cdot 3+(-1)\cdot 1)+(-1)\cdot 3=2+\frac{5}{2}-3=\frac{3}{2}$ ✓
• Cauchy-Schwarz : $\left|\phi (x,y)\right|=\frac{3}{2}\le N(x)N(y)=\sqrt{39}\approx 6,245$ ✓ (largement stricte : les deux vecteurs sont loin d'être colinéaires).

Ce qui est acquis. Une norme est euclidienne ou ne l'est pas, et il n'y a qu'une seule manière qu'elle le soit : la polarisation donne le candidat, unique. La preuve se termine sur le candidat, jamais sur la norme. Et pour une forme quadratique de ${\mathbb{R}}^2$, tout se joue sur le signe de $\phi (x,x)$ : forme canonique ou spectre de la matrice, au choix.