Orthonormaliser ((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) ) dans ℝ³ canonique (on…

Notons $u_1=(1,1,0)$, $u_2=(1,0,1)$, $u_3=(0,1,1)$, et appliquons Gram-Schmidt.

Premier vecteur. $\Vert u_1\Vert =\sqrt{2}$, donc $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)$.

Deuxième vecteur. $⟨u_2,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$, et $$w_2=u_2-⟨u_2,e_1⟩e_1=(1,0,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)=\frac{1}{2}(1,-1,2),e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2).$$

Troisième vecteur. $⟨u_3,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $⟨u_3,e_2⟩=\frac{1}{\sqrt{6}}$, d'où $$w_3=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)-\frac{1}{6}(1,-1,2)=\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right),e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1).$$

Contrôle. Les produits scalaires $⟨e_1,e_2⟩$, $⟨e_1,e_3⟩$ et $⟨e_2,e_3⟩$ sont proportionnels à $1-1+0$, $-1+1+0$ et $-1-1+2$, tous nuls, et chaque $e_i$ est unitaire : $P=(e_1\mid e_2\mid e_3)$ vérifie $P^{\top }P=I_3$.