Parmi les applications suivantes de ℝ² × ℝ² dans ℝ, lesquelles sont…

Les quatre applications sont bilinéaires (chaque terme est de la forme $x_i{y}_j$) et symétriques (les coefficients de $x_1{y}_2$ et $x_2{y}_1$ sont égaux). Tout se joue donc sur la positivité et le caractère défini de $\phi (x,x)$.

• ${\phi }_1(x,x)=x_1^2+x_2^2>0$ pour $x\ne 0$ : produit scalaire (le produit scalaire canonique).
• ${\phi }_2(x,x)=x_1^2-x_2^2$ vaut $-1$ en $x=(0,1)$ : pas positive, pas un produit scalaire.
• ${\phi }_3(x,x)=x_1^2+4x_1{x}_2+x_2^2$ vaut $1-4+1=-2$ en $x=(1,-1)$ : pas un produit scalaire.
• ${\phi }_4(x,x)=x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2=(x_1+x_2{)}^2+x_2^2\ge 0$, et si cette quantité est nulle alors $x_2=0$ puis $x_1=0$ : définie positive, produit scalaire.

Conclusion : seuls ${\phi }_1$ et ${\phi }_4$ sont des produits scalaires. La forme canonique (somme de carrés) est le bon réflexe pour décider de la positivité.