Projection sur (1,,) et coefficients de Fourier

Stratégie. L'ensemble des fonctions $a+b\cos t+c\sin t$ est exactement $F=\mathrm{Vect}(1,\cos ,\sin )$, un sous-espace de dimension finie du préhilbertien $\mathcal{C}([0,2\pi ],\mathbb{R})$, qui, lui, est de dimension infinie. C'est précisément l'hypothèse du théorème de la meilleure approximation : le minimum existe, il est unique, et il vaut $p_F(f)$. Reste à calculer cette projection — et pour cela il faut d'abord savoir si la famille génératrice est orthogonale, puis se souvenir qu'orthogonale ne veut pas dire orthonormale.

Étape 0 — Le cadre. $⟨f,g⟩={\int }_0^{2\pi }fg$ est bien un produit scalaire sur $\mathcal{C}([0,2\pi ],\mathbb{R})$ : la bilinéarité et la symétrie sont celles de l'intégrale et du produit, la positivité vient de $⟨f,f⟩={\int }_0^{2\pi }{f}^2\ge 0$, et le caractère défini est le seul point où la continuité sert : une fonction continue, positive, d'intégrale nulle est identiquement nulle.

Étape 1 — La famille $(1,\cos ,\sin )$ est orthogonale.

Trois intégrales, et trois seulement (la symétrie du produit scalaire dispense des trois autres) :

$$⟨1,\cos ⟩={\int }_0^{2\pi }\cos t\mathrm{d}t=[\sin t{]}_0^{2\pi }=0-0=0,$$

$$⟨1,\sin ⟩={\int }_0^{2\pi }\sin t\mathrm{d}t=[-\cos t{]}_0^{2\pi }=-1-(-1)=0,$$

$$⟨\cos ,\sin ⟩={\int }_0^{2\pi }\cos t\sin t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\sin 2t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{\left[-\frac{\cos 2t}{2}\right]}_0^{2\pi }=0.$$

Les trois fonctions sont non nulles, donc, par la proposition du cours, une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre : $(1,\cos ,\sin )$ est une base orthogonale de $F$, et $\dim F=3$. On n'a rien eu à vérifier sur l'engendrement — c'est l'usage courant de cette proposition.

Étape 2 — Les trois normes.

$$\Vert 1{\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }1\mathrm{d}t=2\pi ,\Vert \cos {\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }\frac{1+\cos 2t}{2}\mathrm{d}t=\frac{2\pi }{2}+0=\pi ,$$

et pour la dernière on évite le calcul : $\Vert \cos {\Vert }^2+\Vert \sin {\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }\left({\cos }^2+{\sin }^2\right)={\int }_0^{2\pi }1=2\pi$, d'où $\Vert \sin {\Vert }^2=2\pi -\pi =\pi$. Donc

$$\Vert 1\Vert =\sqrt{2\pi }\approx 2,507,\Vert \cos \Vert =\Vert \sin \Vert =\sqrt{\pi }\approx 1,772.$$

Attention : la famille est orthogonale, pas orthonormale — et les trois normes sont même différentes entre elles. La base orthonormale de $F$ est

$$\left(e_0,e_1,e_2\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }},\frac{\cos }{\sqrt{\pi }},\frac{\sin }{\sqrt{\pi }}\right).$$

Étape 3 — La meilleure approximation de $f:t\mapsto t$.

Puisque la base est orthogonale sans être orthonormale, c'est la formule avec dénominateurs de l'encadré du cours qu'il faut employer :

$$p_F(f)=\frac{⟨f,1⟩}{\Vert 1{\Vert }^2}\cdot 1+\frac{⟨f,\cos ⟩}{\Vert \cos {\Vert }^2}\cos +\frac{⟨f,\sin ⟩}{\Vert \sin {\Vert }^2}\sin .$$

Oublier les dénominateurs ici donnerait $2{\pi }^2-2\pi \sin t$ au lieu de $\pi -2\sin t$ : ce n'est pas un détail.

Les trois produits scalaires — le premier immédiat, les deux autres par intégration par parties :

$$⟨f,1⟩={\int }_0^{2\pi }t\mathrm{d}t={\left[\frac{t^2}{2}\right]}_0^{2\pi }=2{\pi }^2,$$

$$⟨f,\cos ⟩={\int }_0^{2\pi }t\cos t\mathrm{d}t=[t\sin t+\cos t{]}_0^{2\pi }=(0+1)-(0+1)=0,$$

$$⟨f,\sin ⟩={\int }_0^{2\pi }t\sin t\mathrm{d}t=[-t\cos t+\sin t{]}_0^{2\pi }=(-2\pi +0)-(0+0)=-2\pi .$$

D'où

$$a=\frac{2{\pi }^2}{2\pi }=\pi ,b=\frac{0}{\pi }=0,c=\frac{-2\pi }{\pi }=-2,\boxed{p_F(f):t\mapsto \pi -2\sin t.}$$

Pourquoi $b=0$ ? Pas par imparité sur $[0,2\pi ]$, qui n'est pas symétrique par rapport à $0$ — la symétrie utile est celle par rapport à $t=\pi$. Le changement de variable $u=t-\pi$ ramène l'intégrale à ${\int }_{-\pi }^{\pi }$, où $f(t)-\pi =u$ est impaire tandis que $\cos t=\cos (u+\pi )=-\cos u$ est paire : le produit est impair, l'intégrale est nulle. Le même changement de variable donne $\sin t=-\sin u$, produit pair, intégrale non nulle : $⟨f,\sin ⟩=-2{\int }_0^{\pi }u\sin u\mathrm{d}u=-2\pi$ ✓. C'est bien cette symétrie, et non une parité illusoire, qui annule un coefficient sur deux.

Étape 4 — La distance, et le contrôle chiffré.

La famille $(1,\cos ,\sin )$ étant orthogonale, le théorème de Pythagore donne la norme de la projection sans repasser par les $e_i$ :

$$\Vert p_F(f){\Vert }^2=a^2\Vert 1{\Vert }^2+b^2\Vert \cos {\Vert }^2+c^2\Vert \sin {\Vert }^2={\pi }^2\cdot 2\pi +0+4\cdot \pi =2{\pi }^3+4\pi \approx 74,579.$$

Par ailleurs $\Vert f{\Vert }^2={\int }_0^{2\pi }{t}^2\mathrm{d}t=\frac{(2\pi {)}^3}{3}=\frac{8{\pi }^3}{3}\approx 82,683$, et le théorème de la meilleure approximation, sous sa forme $\Vert f{\Vert }^2=\Vert p_F(f){\Vert }^2+d(f,F{)}^2$, donne

$$d(f,F{)}^2=\frac{8{\pi }^3}{3}-\left(2{\pi }^3+4\pi \right)=\frac{2{\pi }^3}{3}-4\pi \approx 8,1045,d(f,F)\approx 2,847.$$

Contrôle 1 — par le calcul direct, sans aucune projection. On développe ${\int }_0^{2\pi }{\left(t-\pi +2\sin t\right)}^2\mathrm{d}t$ avec $u=t-\pi$, qui transforme l'intégrande en ${\left(u-2\sin u\right)}^2$ sur $[-\pi ,\pi ]$ :

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\left(u^2-4u\sin u+4{\sin }^{2}u\right)\mathrm{d}u=\frac{2{\pi }^3}{3}-4\cdot 2\pi +4\pi =\frac{2{\pi }^3}{3}-4\pi$$

✓ — même valeur, obtenue sans jamais parler de projection (on a utilisé ${\int }_{-\pi }^{\pi }u\sin u\mathrm{d}u=2{\int }_0^{\pi }u\sin u\mathrm{d}u=2\pi$ et ${\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^2=\pi$).

Contrôle 2 — l'écart est bien orthogonal à $F$, ce qui est la caractérisation même de la projection :

$$⟨f-p_F(f),1⟩=2{\pi }^2-\pi \cdot 2\pi =0,⟨f-p_F(f),\cos ⟩=0-0=0,⟨f-p_F(f),\sin ⟩=-2\pi -(-2)\cdot \pi =0$$

✓ — les trois sont nuls, donc $f-p_F(f)\in F^{\perp }$ : c'est bien la projection, et l'unicité du théorème dispense d'en chercher une autre.

Contrôle 3 — c'est bien un minimum. En déplaçant légèrement les coefficients, l'écart quadratique doit remonter : pour $\pi -1,9\sin t$ on trouve $8,1359$, et pour $\pi +0,1-2\sin t$ on trouve $8,1673$, tous deux $>8,1045$ ✓

Contrôle 4 — inégalité de Bessel : $\sum ⟨f,e_i{⟩}^2=\Vert p_F(f){\Vert }^2=74,579\le \Vert f{\Vert }^2=82,683$ ✓, et le défaut, $8,1045$, est exactement $d(f,F{)}^2$.

Ce qui est acquis. Les trois coefficients trouvés sont, au nom près, les coefficients de Fourier d'ordre $\le 1$ de la fonction $2\pi$-périodique qui prolonge $t\mapsto t$ : $a_0=\frac{⟨f,1⟩}{2\pi }=\pi$ (la valeur moyenne), $a_1=\frac{⟨f,\cos ⟩}{\pi }=0$, $b_1=\frac{⟨f,\sin ⟩}{\pi }=-2$. Une somme de Fourier tronquée n'est donc pas une approximation parmi d'autres : c'est la projection orthogonale sur l'espace des polynômes trigonométriques de degré borné, donc la meilleure approximation en moyenne quadratique, et l'inégalité de Bessel n'est que Pythagore lu dans cette famille.

Dernier avertissement, qui est celui du cours. L'orthogonalité est une propriété du produit scalaire, pas des fonctions. Sur $\mathcal{C}([0,\pi ],\mathbb{R})$ muni de ${\int }_0^{\pi }fg$, la même famille n'est plus orthogonale : $⟨1,\sin ⟩={\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=2\ne 0$ (les deux autres produits restent nuls). Changer l'intervalle, c'est changer de géométrie.