Racine carrée d'une matrice symétrique positive

Théorème spectral : $A=PD{P}^{\top }$ avec $D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$, ${\lambda }_i\ge 0$. Posons $$B=P\mathrm{diag}\left(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n}\right)P^{\top }:$$ $B$ est symétrique ($PD{P}^{\top }$ avec $D$ diagonale), positive (spectre $\sqrt{{\lambda }_i}\ge 0$), et $B^2=P\mathrm{diag}({\lambda }_i)P^{\top }=A$. ✓

Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, dont la diagonalisation en base orthonormée a déjà été écrite : $B=P\mathrm{diag}\left(1,\sqrt{3}\right)P^{\top }$ avec $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ : $$B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}+1& \sqrt{3}-1\\ \sqrt{3}-1& \sqrt{3}+1\end{array}\right)\left(\text{controˆle : }{B}^2=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 8\end{array}\right)=A✓\right).$$ (Cette « racine carrée spectrale » est l'outil des décompositions matricielles — polaire, Cholesky — au cœur du calcul scientifique.)