Sur Mₙ(ℝ), montrer que ⟨ A, B⟩ = Tr (A^⊤B ) est un produit scalaire et…

Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens · niveau 1 (application)

Énoncé

Sur $M_{n} (R)$ , montrer que $⟨ A, B ⟩ = Tr (A^{⊤} B)$ est un produit scalaire et que $∥ A ∥^{2} = \sum_{i, j} a_{i, j}^{2}$ (norme de Frobenius : c'est le produit scalaire canonique de $R^{n^{2}}$ déguisé). Calculer $∥ I_{n} ∥$ et $⟨ I_{n}, A ⟩$ ( $n$ et $tr A$ ), puis en déduire par Cauchy-Schwarz que $∣ tr A ∣ \leq n ∥ A ∥$ , avec égalité si et seulement si $A$ est scalaire.

Corrigé

Expression en coefficients. Le coefficient diagonal $(j, j)$ de $A^{⊤} B$ vaut $\sum_{i} a_{i, j} b_{i, j}$ , donc $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B) = i, j \sum a_{i, j} b_{i, j} .$ C'est le produit scalaire canonique de $R^{n^{2}}$ appliqué aux coefficients rangés en un seul vecteur. On en tire : bilinéarité (linéarité de la trace et du produit), symétrie ( $tr (B^{⊤} A) = tr ((A^{⊤} B)^{⊤}) = tr (A^{⊤} B)$ ), et $⟨ A, A ⟩ = \sum_{i, j} a_{i, j}^{2} \geq 0$ , nul seulement si tous les $a_{i, j}$ sont nuls. C'est donc un produit scalaire, et $∥ A ∥^{2} = \sum_{i, j} a_{i, j}^{2}$ .

Deux calculs. $∥ I_{n} ∥^{2} = \sum_{i} 1 = n$ , donc $∥ I_{n} ∥ = n$ ; et $⟨ I_{n}, A ⟩ = tr (I_{n} A) = tr A$ .

Inégalité. Par Cauchy-Schwarz, $∣ tr A ∣ = ∣ ⟨ I_{n}, A ⟩ ∣ \leq ∥ I_{n} ∥ ∥ A ∥ = n ∥ A ∥.$ Il y a égalité si et seulement si la famille $(I_{n}, A)$ est liée ; comme $I_{n} \neq = 0$ , cela équivaut à $A = λ I_{n}$ pour un réel $λ$ , c'est-à-dire $A$ scalaire.

Sur Mₙ(ℝ), montrer que ⟨ A, B⟩ = Tr (A^⊤B ) est un produit scalaire et…

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