Déterminer tous les triplets … pour lesquels la matrice … est orthogonale, et…

Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · A. Matrices orthogonales et groupe orthogonal · niveau 1 (application)

Énoncé

( $⋆$ ) Déterminer tous les triplets $(a, b, c) \in R^{3}$ pour lesquels la matrice $M = \frac{1}{3} (12 a 21 b 2 - 2 c)$ est orthogonale, et préciser dans chaque cas si $M$ est directe ou indirecte (les deux premières lignes sont déjà unitaires et orthogonales entre elles ; la troisième doit être unitaire et orthogonale aux deux autres, donc colinéaire à leur produit vectoriel. On trouve exactement deux solutions : $(- 2, 2, - 1)$ , de déterminant $+ 1$ , et $(2, - 2, 1)$ , de déterminant $- 1$ ).

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Les deux premières lignes. $L_{1} = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$ et $L_{2} = \frac{1}{3} (2, 1, - 2)$ sont unitaires ( $\frac{1 + 4 + 4}{9} = 1$ ) et orthogonales ( $\frac{2 + 2 - 4}{9} = 0$ ).

Condition sur la troisième. $M$ est orthogonale si et seulement si ses lignes forment une base orthonormée de $R^{3}$ . La ligne $L_{3} = \frac{1}{3} (a, b, c)$ doit donc être unitaire et orthogonale au plan $Vect (L_{1}, L_{2})$ , dont l'orthogonal est la droite dirigée par $L_{1} \land L_{2} = \frac{1}{9} (2 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 2), 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = \frac{1}{3} (- 2, 2, - 1),$ vecteur déjà unitaire. Il y a donc exactement deux solutions, $L_{3} = \pm L_{1} \land L_{2}$ , soit $(a, b, c) = (- 2, 2, - 1)$ ou $(a, b, c) = (2, - 2, 1)$ .

Directe ou indirecte. $det M = det (L_{1}, L_{2}, L_{3}) = ⟨ L_{1} \land L_{2}, L_{3} ⟩$ (produit mixte). Pour $L_{3} = L_{1} \land L_{2}$ , il vaut $∥ L_{1} \land L_{2} ∥^{2} = 1$ : $(a, b, c) = (- 2, 2, - 1)$ donne $M \in S O_{3} (R)$ , directe. Pour $L_{3} = - L_{1} \land L_{2}$ , il vaut $- 1$ : $(a, b, c) = (2, - 2, 1)$ donne une matrice orthogonale indirecte.

Déterminer tous les triplets … pour lesquels la matrice … est orthogonale, et…

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