Identifier (rotation

Pour chaque matrice, on vérifie que les colonnes forment une base orthonormée, puis le signe du déterminant décide : $+1$ rotation, $-1$ réflexion.

$R=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ : colonnes unitaires et orthogonales, $\det R=\frac{1}{2}(1+1)=1$. C'est $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ avec $\cos \theta =\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ : rotation d'angle $\frac{\pi }{4}$.

$S=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 4& -3\end{array}\right)$ : colonnes unitaires ($9+16=25$) et orthogonales ($12-12=0$), $\det S=\frac{-9-16}{25}=-1$. C'est une réflexion (symétrie orthogonale par rapport à une droite). Son axe est $\ker (S-I_2)$ : $-2x+4y=0$, soit l'axe dirigé par $(2,1)$. Contrôle : $S$ est de la forme $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$ avec $\cos \theta =\frac{3}{5}$, $\sin \theta =\frac{4}{5}$, et l'axe fait l'angle $\frac{\theta }{2}$ avec $(Ox)$ : $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\frac{1}{2}$.

$-I_2$ : orthogonale, $\det (-I_2)=1$ ; c'est $\left(\begin{array}{cc}\cos \pi & -\sin \pi \\ \sin \pi & \cos \pi \end{array}\right)$ : rotation d'angle $\pi$, c'est-à-dire la symétrie centrale de centre $O$ (en dimension $2$, ce n'est pas une réflexion).