Matrice d'une réflexion

Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Donner la matrice, en base canonique de $R^{2}$ , de la réflexion $s_{α}$ par rapport à la droite $D_{α} = Vect (cos α, sin α)$ , et retrouver ainsi la nature de la matrice $(0110)$ rencontrée plus haut.

Corrigé

Pour $u = (cos α, sin α)$ unitaire, la projection orthogonale sur $D_{α}$ est $p (x) = ⟨ u, x ⟩ u$ , et $s_{α} = 2 p - id$ (première année) : $Mat (s_{α}) = 2 (cos^{2} α cos α sin α cos α sin α sin^{2} α) - I_{2} = (cos 2 α sin 2 α sin 2 α - cos 2 α) = S (2 α)$ (linéarisation, première année). On retrouve la classification : toute matrice indirecte $S (θ)$ est la réflexion d'axe d'angle polaire $\frac{θ}{2}$ — pour $B = S (\frac{π}{2})$ : axe à $\frac{π}{4}$ , la bissectrice. ✓

Énoncé

Corrigé

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